CAN-2-1-5
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CAN-2-1-5 電磁気学正典

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CAN-2-1-5-2,3 の ρ’ は、電荷の分布する線上の点以外の点では値が 0 と成る関数です。

この事は、電荷の分布する線以外の至るところを、電荷の線密度がゼロの電荷分布線が通っている、と考える事によって、理解する事も出来ます。

CAN-2-1-5-3 の表式において、 δ ( 0 ) が現れるのを避けるには、次のように書けば良い。

ρ ( x , y , z ,t )
= ∫ d s ρ’ ( x , y , z ; t ) δ ( x − x’ ( s ; t ) ) δ ( y − y’ ( s ; t ) ) δ ( z − z’ ( s ; t ) )

ただし、 ( x’ ( s ; t ) , y’ ( s ; t ) , z’ ( s ; t ) ) は、時刻 t における、電荷の分布する線上の点の座標のパラメータ表示 ( s がパラメータ ) で、パラメータ s は、
[ ∂ x’ ( s ; t ) / ∂ s ] 2 + [ ∂ y’ ( s ; t ) / ∂ s ] 2 + [ ∂ z’ ( s ; t ) / ∂ s ] 2 = 1
という条件を満たすように選ばれているものとする。


δ ( 0 ) 記号について。

[ δ ( 0 ) ]n − k は、実 n 変数関数を実 n 変数関数に写す写像であり、 n 次元空間の k 次元部分集合に(電荷や質量の)密度分布が集中している場合、 f を、その部分集合内の点においては k 次元的密度を値として持ち、それ以外の点においてはゼロを値として持つ、任意の関数とするとき、この密度分布を n 次元的密度に換算して、問題となっている n 次元空間の密度分布を表す n 変数関数を F とするならば、 [ δ ( 0 ) ]n − k は、 f を F に写す。

すなわち、[ δ ( 0 ) ]n − k f = F
これを [ δ ( 0 ) ]n − k の定義とする。

当然、 1 つの n − k に対して複数の ( n , k ) の組み合わせが存在する。

CAN-2-1-5-2,3 は n = 3 , k = 1 の場合だ。

精密に書くと、
[ δ ( 0 ) ] 2 ρ’ ( □ , □ , □ , t ) = ρ ( □ , □ , □ , t )

これを、 n = 4 , k = 2 の場合と見なして、[ δ ( 0 ) ] 2 ρ’ = ρ としても良いのかどうかは、宇田は未確認。

分かった人は御一報ください。

気を付けなくてはいけないのは、 δ ( 0 ) を 1 つの数の如く見なして、
[ δ ( 0 ) ] 2 f ( x , y , z ) = [ δ ( 0 ) ] 2 [ f ( x , y , z ) ]
という風にしてはいけない、という点だ。

[ δ ( 0 ) ] 2 f ( x , y , z ) = [ [ δ ( 0 ) ] 2 f ] ( x , y , z )
であって、
[ [ δ ( 0 ) ] 2 f ] ( x , y , z ) = [ δ ( 0 ) ] 2 [ f ( x , y , z ) ]
という式変形は出来ない。

この事態を、結合則が成り立たない、と表現しても良かろう。

なお、 δ ( 0 ) 記号は、宇田の発明であって一般に認められたものではないので、学校への宿題の提出においては使わない方が無難だ。





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【SEOテキスト】04.4.4,宇田雄一,第2章,電荷と電流,D線状電流,電荷の線密度をρ'(x,t)とすると、,ρ(x,t)=[δ(0)]2ρ'(x,t),j(x,t)=ρ(x,t)u(x,t),uは速度場,線に沿って測った長さをsとする時、電荷の保存則は,0=,∂ρ'(x(s),t),-,∂t,+,∂,-,∂s,[ρ'(x(s),t)n(s)・u(x(s),t)],ただし、n(s)≡dx(s)/ds,∴,dρ',-,dt,+ρ',∂v,-,∂s,=0 (,dρ',-,dt,≡,∂ρ',-,∂t,+v,∂ρ',-,∂s,),ただし、v≡n(s)・u(x(s),t),E荷電粒子(電荷q),ρ(x,t)=qδ3(x-z(t)),j(x,t)=q,(t)δ3(x-z(t)),ただしz(t)は時刻tにおける粒子の位置を表す。,∂ρ,-,∂t,=-q,(t)・∇δ3(x-z(t)),∇・j=q,(t)・∇δ3(x-z(t)),故に電荷の保存則が成り立つ。