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目次
TEC-0-2-1
COM-2-1
【補足説明欄】
1行目の「 [3] 4次元2階テンソル場記法」は、1～19行目の記事のタイトルです。
「2階テンソル」の「2」は添え字の個数です。
「4次元2階テンソル」の「4」は各添字の値の個数であり、また変数xの成分の個数でもあります。2021.07.02,07
3次元記法と4次元記法の違いがCOM-2-1-2～4で説明されています。2021.07.02
1行目の x4 ≡ ct は、空間座標 x = (x1, x2, x3) に第4成分として x4 ≡ ct を付け足して x = (x1, x2, x3, x4) = (x, ct) という時空座標を考える、という意味です。2021.07.02,07,08,16
普通は添え字0が用いられる所で、私は添え字4を用いています。
たとえば、私がx4と書いているところのものは、普通はx0と書かれます。
添え字4が他の文献で用いられる場合には、たとえば x4 ≡ ict とするなど、当典の規約 x4 ≡ ct とは異なる規約が採用されるのが普通です。
この部分(x0やx4をどう定義するか)は、文献ごとに目まぐるしく違うので、その都度確認が必要です。
x4 ≡ ct とする規約も、ワタシ固有のものではなく、当典ではそう定義していますが、他所に何か書く時までそうだとは限りません。2007.07.23;2021.07.03,07,17
2行目の「F: R4 → R4×4」は「R4からR4×4への写像であるF」という意味です。
「: R4 → R4×4」が、英語の関係代名詞に導かれる節の働きをしており、「F」を後置修飾しています。
R4は、4成分の実列ベクトル全体の集合、または4成分の実行ベクトル全体の集合です。
R4×4は、実4×4行列全体の集合です。2021.07.02,07
CAN-1-1-27-5～10への補足説明に書かれている事と同様に、Fはテンソル場ではなくテンソル場の特定の時空座標系での表示です。2021.07.02,05,07
7～14行目の E1(x, t), E2(x, t), E3(x, t), H1(x, t), H2(x, t), H3(x, t) は、CAN-2-1-1-1～12で説明されています。
ε0とμ0は、CAN-2-1-1-21で説明されています。2021.07.17
16～19行目に見られる様に、添え字の値を1, 2, 3, 4の範囲で動かしたい時には添え字としてギリシャ文字を用い、添え字の値を1, 2, 3の範囲でのみ動かしたい時には添え字としてラテン文字を用いる慣習が有ります。
添え字の値として4の代わりに0を用いる文献では、ギリシャ文字が0, 1, 2, 3を担当し、ラテン文字が1, 2, 3を担当します。
そういう意味を担わされたギリシャ文字は「ローレンツ添え字」と呼ばれます。
さらに、説明なしで添え字としてギリシャ文字とラテン文字をその様に使い分ける慣習も有ります。2021.07.07,14
16～19行目についての補足説明が、TEC-0-2-1-15～19に書かれています。2021.07.02
16行目の式を μ = ν の場合について使うと、
Fμμ(x) = -Fμμ(x) ∴ 2Fμμ(x) = 0 ∴ Fμμ(x) = 0.
この様に、反対称性が有れば対角成分は全てゼロに成ります。2021.07.10
18,19行目のεiklは、TEC-0-2-1-11,12で説明されています。2021.07.02,17
F12 = ε121H1 + ε122H2 + ε123H3 = 0H1 + 0H2 + 1H3 = H3,
F21 = ε211H1 + ε212H2 + ε213H3 = 0H1 + 0H2 + (-1)H3 = -H3,
F23 = ε231H1 + ε232H2 + ε233H3 = 1H1 + 0H2 + 0H3 = H1,
F32 = ε321H1 + ε322H2 + ε323H3 = (-1)H1 + 0H2 + 0H3 = -H1,
F31 = ε311H1 + ε312H2 + ε313H3 = 0H1 + 1H2 + 0H3 = H2,
F13 = ε131H1 + ε132H2 + ε133H3 = 0H1 + (-1)H2 + 0H3 = -H2,
F11 = ε111H1 + ε112H2 + ε113H3 = 0H1 + 0H2 + 0H3 = 0,
F22 = ε221H1 + ε222H2 + ε223H3 = 0H1 + 0H2 + 0H3 = 0,
F33 = ε331H1 + ε332H2 + ε333H3 = 0H1 + 0H2 + 0H3 = 0.
20行目の「 [4] 4次元ベクトルポテンシャル記法」は、21行目からCAN-2-1-3-4までの記事のタイトルです。
ここで私は「4次元ベクトルポテンシャル記法」という言葉を、4次元記法でありベクトルポテンシャル記法でもある、という意味を表すために使っています。
つまり、「4次元」は「記法」に掛かるのであって「ベクトルポテンシャル」に掛かるのではありません。
しかし、ここで使われている「ベクトル」という言葉は「4次元ベクトル」という意味を表しており、3次元ベクトルという意味を表しているのではありません。
また、4次元が時空の4次元を指す場合には、4次元ベクトルは物理学では「4次元ベクトル」ではなく「4元ベクトル(four-vector)」と呼ばれるのが普通です。
4元ベクトルとは何かは、相対性理論正典第1章§1-1[3](2)で学びます。2021.07.08,14
21行目の「 (1) 定義」は、22～26行目の記事のタイトルです。2021.07.08
22,23行目について。
Aはベクトル場ではなくベクトル場の特定の時空座標系での表示です。2021.07.05,07
24,25,29行目のμ,νはローレンツ添え字です。2021.07.07
24,25,29行目で使われている∂μという記号の定義は、TEC-0-2-1-22～24に書かれています。2021.07.02,07
24,25行目の式が16行目の式の十分条件に成っている事に気を付けて下さい。2021.07.07,17
Fμν = (1/μ0)(∂νAμ - ∂μAν) = -(1/μ0)(∂μAν - ∂νAμ) = -Fνμ.
24,25行目の式によれば、Aによる表現ではFで表現し得る電磁場の全てをカバーできそうにありません。
しかし、Aによって表現できない電磁場はマクスウェル方程式の解に成らないので、ポテンシャル記法を使っても不足は生じません。2021.07.07
27行目の「 (2) ゲージ変換」は、27～30行目の記事のタイトルです。2021.07.08
27,29行目では、λ: R4 → R でなければいけません。
つまり、λは定義域がR4である任意の実数値関数です。2021.07.02,14
24,25,29行目の式から、
(1/μ0)[∂νA'μ(x) - ∂μA'ν(x)]
= (1/μ0)[∂νAμ(x) + ∂ν∂μλ(x) - ∂μAν(x) - ∂μ∂νλ(x)]
= (1/μ0)[∂νAμ(x) - ∂μAν(x)] ∵ ∂ν∂μλ(x) = ∂μ∂νλ(x)
= Fμν(x).
である事が分かります。
この方が3次元記法(TEC-0-2-1-2～9)よりも簡潔である事や、CAN-2-1-2-24,25,29の式の方がCAN-2-1-1-17～19,25～27の式よりも簡潔である事は、3次元空間は人工的な概念であり4次元時空の方が自然である事の表れです。
この様に、本当の事というのは、どこにどんな証拠が出ているか分からず、逆に、ウソというのは、どこでどんな矛盾が出るか分からない物です。2021.07.07,17
ここでは、4次元記法を、あくまで単なる記法として採り上げており、ベクトルやテンソルの変換性には言及していない事に、注意して下さい。
変換性については相対性理論正典§1-3で述べます。
この辺りの、何をどの科目で取り上げるかの割り振りの絶妙さも、当物理学正典の構成が科目の境界を越えたレベルで練られている事の、表れです。
普通の解説では、 4次元記法は変換則と共に導入されます。
しかし、これだと、 4次元記法が変換則に依拠せずそれだけで成立するものである事、を読者に明瞭に伝えられません。
そんな事、言われなくたって分かるか？案外そうでもない。
事実、ある大学教授は「2階テンソルの成分は行列ではない」という風に授業で力説していました。
しかし本当は、2階テンソルの成分表示を行列と見なす事は、間違いではありません。（ただし、反変成分と共変成分が異なる行列をなす事など、どの添え字が上付きでどの添え字が下付きかを指定しなければ行列は決まらない事、には気を付けて下さい。2007.7.28）
その教授の言い分によると、院生がテンソルの成分を行列と見なして計算すると間違った答えが出て来た、のだそうだ。
それを聞いて私が後でその計算をやってみると、計算ミスの原因は行列を転置するのを忘れていた事らしい、と分かりました。
これは私がまだ大学生だった頃の話です。
他人のやった計算だから「らしい」と書きましたが、私は「間違いなくそれが原因だ」と確信しています。
転置すべき所で転置さえすれば正しい答えが出て来たのだから。
これについては、TEC-0-1-54の補足説明欄に書いた様な話を書きたいのですが、文章がまとまらないので、ここには書きません。
しかし、そうやって毎回一歩手前で叙述を止めてばかりでは、いつまで経っても肝心な事が伝わりません。
さて、物理というものに目覚めた人は、物理は数学とは違うんだ(CAN-1-1-27-12,13への補足説明)という教訓を大いに気に入りますが、その意識が間違いを招く事も有ります。
物理と数学は違うんだ、という事が分かったら次は、物理と数学の境界を間違えない事を目指して下さい。2007.7.6;2021.07.02,07,13,16
【SEOテキスト】宇田雄一,04.4.4,第1章,電磁場の記述,[3]4次元2階テンソル場記法(x4≡ct),F:R4→R4×4が電磁場を表している、とは,(,F11(x) F12(x) F13(x) F14(x),F21(x) F22(x) F23(x) F24(x),F31(x) F32(x) F33(x) F34(x),F41(x) F42(x) F43(x) F44(x),)=(,0 H3(x,t) -H2(x,t) -√,ε0,-,μ0,E1(x,t),-H3(x,t) 0 H1(x,t) -√,ε0,-,μ0,E2(x,t),H2(x,t) -H1(x,t) 0 -√,ε0,-,μ0,E3(x,t),√,ε0,-,μ0,E1(x,t) √,ε0,-,μ0,E2(x,t) √,ε0,-,μ0,E3(x,t) 0,),が成り立つ事を言う。この場合、下式が成り立つ。,Fμν(x)=-Fνμ(x) (μ,ν=1,2,3,4)・・・・・・・反対称性,F4i(x)=-Fi4(x)=√,ε0,-,μ0,Ei(x,t) (i=1,2,3),Fik(x)=,3,∑,l=1,εiklHl(x,t) (i,k=1,2,3),[4]4次元ベクトルポテンシャル記法,①定義,A:R4→R4が電磁場の4次元ベクトルポテンシャルであるとは、,Fμν(x)=,1,-,μ0,[∂νAμ(x)-∂μAν(x)],が成り立つ事を言う。,②ゲージ変換(λは任意),Aがある電磁場の4次元ベクトルポテンシャルならば、A'μ(x)=Aμ(x)+∂μλ(x) によって定義されるA'も同じ電磁場の4次元ベクトルポテンシャルである。