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目次
[補足説明欄]
1行目の「 [2] 4次元記法で」は、2～18行目の記事のタイトルです。2021.10.05
2行目の「 (1) 4次元電流密度」は、2～6行目の記事のタイトルであり、また、2行目のjが4次元電流密度である事を示すものでもあります。2021.10.05
4,5行目の左辺のxは、CAN-2-1-2-1への補足説明で説明されています。
x = (x1, x2, x3, x4) = (x, ct).
j//2021.10.05
4行目の右辺のj(x, t)は、CAN-2-1-4-5のj(x, t)です。2021.10.05
5行目の右辺のρ(x, t)は、CAN-2-1-4-4のρ(x, t)です。2021.10.05
2～6行目の内容をまとめると、次の様に成ります。
4元電流密度をj4と書き、3次元電流密度をj3と書けば、k = 1, 2, 3 として、
j4: R4 → R4, j4k(x1, x2, x3, ct) = j3k(x1, x2, x3, t), j44(x1, x2, x3, ct) = cρ(x1, x2, x3, t).
//2021.10.05
7行目の「 (2) 電荷の保存則」は、8～10行目の記事のタイトルです。2021.10.05
8,9行目の式は、CAN-2-1-4-23,24の式と内容が同じです。
Σk=13 (∂/∂xk)j4k(x) + (∂/∂x4)j44(x) = 0
⇔ Σk=13 (∂/∂xk)j3k(x, t) + (1/c)(∂/∂t)[cρ(x, t)] = 0 ∵ 4～6行目
⇔ ∇・j3(x, t) + (∂/∂t)ρ(x, t) = 0.
//2021.10.05
10 行目について。
このように、同じ添え字を持つ因子の積の和においては、和を表す∑記号を省略する事が良くあります。
この略記法は、相対性理論で用いられる数式の煩雑さを減ずるためにアインシュタインによって考案されたもので、「アインシュタインの総和規約」と呼ばれます。
英語では「contraction rule」とも呼ばれるので「縮約規約」とも呼ばれたかも。2021.10.05
11行目の「 (3) 荷電粒子」は、11～18行目の記事のタイトルです。2021.10.05
13～15行目の内容をまとめると、次の様に成ります。
粒子の運動を表す3次元記法の関数を z3: R → R3 とし、4次元記法の関数を z4: R → R4 とすると、
時刻tにおける粒子の位置は、z3(t) = z4(ct) です。
粒子の運動の如何によらず ∀τ∈R; z4(τ) = τ だと決めておきます。
すると、x4 = ct, k = 1, 2, 3 とするとき、z4k(x4) = z3k(t), z4k(x4) =x4.
//2021.10.05
16行目の式の根拠は以下です。
cDz4(x4) = c(d/dx4)z4(x4) = (d/dt)z4(ct) = (d/dt)z3(t) = Dz3(t).
ただし、DはTEC-0-1-43の補足説明欄の赤枠内で説明されている写像です。2021.10.05
17行目の式の根拠は z4(τ) = τ である事です。2021.10.05
18行目の式は μ = k = 1, 2, 3 の場合には、
j4k(x) = cqDz4k(x4)δ3(x - z4(x4))
= qDz3k(t)δ3(x - z3(t)) ∵ 13～16行目
これは、CAN-2-1-5-14, CAN-2-1-6-4に一致します。
j44(x) = cqDz44(x4)δ3(x - z4(x4))
= cqδ3(x - z3(t)) ∵ 13,17行目
これは、CAN-2-1-5-13, CAN-2-1-6-5に一致します。2021.10.05
【SEOテキスト】宇田雄一,04.4.4,第2章,電荷と電流,[2]4次元記法で,①4元電流密度j:R4→R4,4次元記法←→3次元記法,j(x)=j(x,t),j4(x)=cρ(x,t),x4=ct,②電荷の保存則,4,∑,μ=1,∂jμ(x),-,∂xμ,=0,あるいは、もっと簡単に、∂μjμ(x)=0,③荷電粒子(電荷q),4次元記法←→3次元記法,z(x4)=z(t),z4(x4)=ct,x4=ct,c,(x4)=,(t),4(x4)=1,4元電流密度:jμ(x)=cq,μ(x4)δ3(x-z(x4))