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目次
CAN-1-1-2
CAN-1-1-3
CAN-1-1-10
CAN-1-1-11
TEC-0-1-20
TEC-0-1-57
TEC-0-1-58
TEC-0-1-59
TEC-0-1-60
COM-1-10
【補足説明欄】
1行目の式は、(ｔ=0でのdz'/dtの値)=0という初期条件を与えるための十分条件、を表しています。
TEC-0-1-19-22の式をtで微分して得られる式に、この式を代入すると、(ｔ=0でのdz'/dtの値)=0という初期条件が得られます。
任意のωに対して、という事でなければ、(ｔ=0でのdz'/dtの値)=0であるためにTEC-0-1-21-1の条件が成り立つ必要はありませんが、ここでは解を求めるのが目的なのだから、必要条件を求める必要は無く、十分条件を1つ見付けるだけで十分です。2013.08.21,29
3行目の x'0 = 0 は、∀t; x'0(t) = 0 という意味であり、
∀t; (d/dt)2x'0(t) = 0 (TEC-0-1-20-12の最も左の式)
という微分方程式を、
x'0(0) = 0 (TEC-0-1-20-27),
[t=0での(d/dt)x'0(t)の値] = 0 (TEC-0-1-20-29)
という初期条件の下で解く事によって得られます。2013.08.24,25,27,29;2013.09.03
3行目の y'0 = 0 は、∀t; y'0(t) = 0 という意味であり、
∀t; (d/dt)2y'0(t) = 0 (TEC-0-1-20-12の中央の式)
という微分方程式を、
y'0(0) = 0 (TEC-0-1-20-28),
[t=0での(d/dt)y'0(t)の値] = 0 (TEC-0-1-20-30)
という初期条件の下で解く事によって得られます。2013.08.27,29;2013.09.03
3行目の z'0 = b - (1/2)gt2 は、∀t; z'0(t) = b - (1/2)gt2 という意味であり、
∀t; (d/dt)2z'0(t) = -g (TEC-0-1-20-12の最も右の式)
という微分方程式を、
[t=0での(d/dt)z'0(t)の値] = 0 (TEC-0-1-21-1)
という初期条件の下で解く事によって得られます。2013.08.28,29;2013.09.03
5行目の x'1 = 0 は、∀t; x'1(t) = 0 という意味であり、
∀t; (d/dt)2x'1(t) = 2(sinα)(d/dt)y'0(t) (TEC-0-1-20-14)
に、
∀t; y'0(t) = 0 (TEC-0-1-21-3)
を代入して得られる微分方程式を、
x'1(0) = 0 (TEC-0-1-20-27),
[t=0での(d/dt)x'1(t)の値] = 0 (TEC-0-1-20-29)
という初期条件の下で解く事によって、得られます。2013.08.31;2013.09.01,02;2013.09.03,04
5行目の y'1 = (1/3)g(cosα)t3 は、∀t; y'1(t) = (1/3)g(cosα)t3 という意味であり、
∀t; (d/dt)2y'1(t) = -2(sinα)(d/dt)x'0(t) - 2(cosα)(d/dt)z'0(t) (TEC-0-1-20-14)
に、
∀t; x'0(t) = 0 (TEC-0-1-21-3),
∀t; z'0(t) = b - (1/2)gt2 (TEC-0-1-21-3)
を代入して得られる微分方程式を、
y'1(0) = 0 (TEC-0-1-20-28),
[t=0での(d/dt)y'1(t)の値] = 0 (TEC-0-1-20-30)
という初期条件の下で解く事によって、得られます。2013.09.07
6行目の z'1 = 0 は、∀t; z'1(t) = 0 という意味であり、
∀t; (d/dt)2z'1(t) = 2(cosα)(d/dt)y'0(t) (TEC-0-1-20-15)
に、
∀t; y'0(t) = 0 (TEC-0-1-21-3)
を代入して得られる微分方程式を、
z'1(0) = 0,
[t=0での(d/dt)z'1(t)の値] = 0 (TEC-0-1-21-1)
という初期条件の下で解く事によって、得られます。
z'1(0) = 0 という条件は、TEC-0-1-20-27〜TEC-0-1-21-1には、書かれていません。
TEC-0-1-19-22の式にz'0(0) = b, z'1(0) = 0, z'2(0) = 0, z'3(0) = 0, ・・・を代入してz'(0) = b という初期条件が得られる、と考えます。
z'0(0) = bである事は、TEC-0-1-21-3の式 z'0(t) = b - (1/2)gt2 から言えます。
「十分条件を求めれば良いので勝手に z'1(0) = 0 とした」というのは、与えられた初期条件 z'(0) = b に対して、方程式を解くのが目的だから、TEC-0-1-19-22の式に代入した時に z'(0) = b が出て来る様な z'0(0), z'1(0), z'2(0), z'3(0), ・・・の値の組みを一般的に求める必要は無く、そういう値の組みを1つ見付けさえすれば良いのでそうした、という意味です。2013.09.08,10,11,14,15
11行目までの推論に含まれる、CAN-1-1-10-28の符号ミスに由来するミス、を修正するには、TEC-0-1-21-11までの式中の a を -a に書き換えるだけで良い事が、CAN-1-1-10-28に対する補足説明に、書かれています。2014.10.30
8〜10行目の解法を全次数に渡って完遂した結果が、TEC-0-1-57〜TEC-0-1-60に、掲載されています。2014.10.26
19行目の N = mg cosα の成立理由は、CAN-1-1-11-25の式です。2013.11.24
19行目の dx/dt = v cosθ, dy/dt = -v sinθという置き方は、速度ベクトルがx軸となす角をθとし、速度ベクトルの大きさをvとする、という置き方です。
その様子は、TEC-0-1-22-21〜28の図に描かれています。2013.11.25,26
20,21行目の式は、CAN-1-1-11-23の式に、TEC-0-1-21-19の
dx/dt = v cosθ
dy/dt = -v sinθ
N = mg cosα
を代入して両辺をmで割る事によって得られます。
-μN(dx/dt)／√[(dx/dt)2 + (dy/dt)2]
= -μmg(cosα)(v cosθ)／√[(v cosθ)2 + (-v sinθ)2]
= -mμg(cosα)(v cosθ)／√{v2[(cosθ)2 + (sinθ)2]}
= -mμg(cosα)(v cosθ)／√{v2}
= -mμg(cosα)(v cosθ)／v
= -mμg(cosα)cosθ
だから、md2x/dt2 = -μN(dx/dt)／√[(dx/dt)2 + (dy/dt)2] は、
m(d/dt)(v cosθ) = -mμg(cosα)cosθ
∴(d/dt)(v cosθ) = -μg(cosα)cosθ
という風に書き換えられます。2013.11.27,30;20131201,02,03,19;2014.07.12,19
22,23行目の式は、CAN-1-1-11-24の式に、TEC-0-1-21-19の
dx/dt = v cosθ
dy/dt = -v sinθ
N = mg cosα
を代入して両辺をmで割る事によって得られます。
-μN(dy/dt)／√[(dx/dt)2 + (dy/dt)2]
= -μmg(cosα)(-v sinθ)／√[(v cosθ)2 + (-v sinθ)2]
= -mμg(cosα)(-v sinθ)／√{v2[(cosθ)2 + (sinθ)2]}
= -mμg(cosα)(-v sinθ)／√{v2}
= -mμg(cosα)(-v sinθ)／v
= mμg(cosα)sinθ
だから、md2y/dt2 = -mg sinα-μN(dy/dt)／√[(dx/dt)2 + (dy/dt)2] は、
m(d/dt)(-v sinθ) = -mg sinα+mμg(cosα)sinθ
∴(d/dt)(-v sinθ) = -g sinα+μg(cosα)sinθ
∴(d/dt)(v sinθ) = g sinα -μg(cosα)sinθ
という風に書き換えられます。2013.11.27,30;20131201,02;2014.07.12,19
24行目の式は、20,21行目の式を変形して得られた式です。
(d/dt)(v cosθ)
= (dv/dt)cosθ + v(d/dt)cosθ
= (dv/dt)cosθ + v(dθ/dt)(d/dθ)cosθ
= (dv/dt)cosθ + v(dθ/dt)(-sinθ)
だからです。2014.07.13; 2014.10.20
25行目の式は、22,23行目の式を変形して得られた式です。
(d/dt)(v sinθ)
= (dv/dt)sinθ + v(d/dt)sinθ
= (dv/dt)sinθ + v(dθ/dt)(d/dθ)sinθ
= (dv/dt)sinθ + v(dθ/dt)cosθ
だからです。2014.07.13; 2014.10.20
26行目の左の式は、(24行目の式)×cosθ＋(25行目の式)×sinθです。
(cosθ)2 + (sinθ)2 = 1 である事を使っています。2014.07.13; 2014.10.20
26行目の右の式は、(24行目の式)×(-sinθ)＋(25行目の式)×cosθです。
(cosθ)2 + (sinθ)2 = 1 である事を使っています。2014.07.13; 2014.10.20
27,28行目の左の等号の成立理由は、dv/dθ＝(dv/dt)/(dθ/dt)です。2014.07.13
27,28行目の右の等号の成立は、26行目の左の式の両辺を26行目の右の式の両辺で割る事によって分かります。2014.07.13
29行目の「積分」は不定積分です。2014.07.21
27,28行目の最左辺が(d/dθ)ln vだから、27,28行目の最右辺をθで積分した物が29,30行目の右辺に等しい事を示せば、29,30行目の式を導出できた事に成ります。
(d/dθ)(-ln cosθ) = -(1/cosθ)(d/dθ)cosθ
= -(1/cosθ)(-sinθ)
= (sinθ)/cosθ
= tanθ
(d/dθ)ln tan(θ/2+π/4)
= [1/tan(θ/2+π/4)](d/dθ)tan(θ/2+π/4)
= [1/tan(θ/2+π/4)][1/cos(θ/2+π/4)]2(d/dθ)(θ/2+π/4)
= {1/[sin(θ/2+π/4)cos(θ/2+π/4)]}(1/2)
= 1/[2sin(θ/2+π/4)cos(θ/2+π/4)]
= 1/sin[2(θ/2+π/4)]
= 1/sin(θ+π/2)
= 1/cosθ
下から上にさかのぼって読むと、積分のコツをつかむ事が出来ます。
両方とも、積分結果がln・・・という風に成るのではないか、という予想を立てて、f'(θ)/f(θ)の形を作る事を目指して、変形しています。
1/cosθの積分では、因子が1個ではf'(θ)/f(θ)の形に成り得ないので因子の個数を増やす必要が有る、という発想から、倍角の公式の適用を思い付いています。
そういう場合には、倍角の公式を習った時に、それが三角関数の次数を変える、という大づかみな特徴を抽出して長期記憶野に入れておいた事が、役に立っています。
そういう物の覚え方をする方が公式の詳細を覚えるよりも後々で力に成る、という事の一例です。
29,30行目の右辺最終項は積分定数ですが、これはθ=0での速さv0を用いて書かれています。
θ=0を代入するとv=v0に成る事を確認できます。2014.07.21,23,24
【SEOテキスト】宇田雄一03.9.23,z'0(0)=z'1(0)=z'2(0)=z'3(0)=・・・・・・・=0を選ぶと、初期条件とTEC-0-1-20-12よりx'0=y'0=0,z'0=b-(1/2)gt2(bは積分定数)これと初期条件とTEC-0-1-20-14,15よりx'1=0,y'1=(1/3)g(cosα)t3,z'1=0[十分条件を求めれば良いので勝手にz'1(0)=0とした]ここまでとTEC-0-1-20-17〜21より、x'2,y'2,z'2が求まり、・・・・・という風にして、すべてのnに対するx'n,y'n,z'nを求める事が出来、x',y',z'がωのべき級数として表される。ここで用いた解法を摂動法と呼ぶ。CAN-1-1-10-20〜24,θ=π/2-α,φ=ωt,r=aをCAN-1-1-2-26〜3-1に代入したときのr,eθ,eφ,erがCAN-1-1-10-20〜24のr0,i',j',k'になっている。CAN-1-1-11-12〜30まずN=mg cosαがすぐに分かる。x=v cosθ,y=-v sin θとおくとd/dt(v cosθ)=-μg(cosα)cosθ,d/dt(v sinθ)=g sinα-μg(cosα)sinθ変形するとv cosθ-vθsinθ=-μg(cosα)cosθ,v sinθ+vθcosθ=g sinα-μg(cosα)sinθ∴v=g(sinα)sinθ-μg cosα,vθ=g(sinα)cosθこれより、1/v dv/dθ=v/vθ=tanθ-μ/tanα・1/cosθ積分するとln v=-ln cosθ-μ/tanα ln tan(θ/2+π/4)+ln v0