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目次
TEC-0-1-21
TEC-0-1-55
COM-1-10
【補足説明欄】
1,2行目の記述は、前ページで27,28行目の式を積分して29,30行目の式を導出した事、に対するコメントです。2014.10.21,25
3,4行目の式の成立は、前ページの29,30行目の式の両辺の指数関数を考える事によって、分かります。
TEC-0-1-22-3,4行目の式の両辺の対数を取れば前ページの29,30行目の式が得られる事、を確認する事によって、それが分かります。
TEC-0-1-22-3,4行目の式の右辺の対数は、対数関数の次の性質を使って計算できます。
ln[(A/B)CD] = ln(A/B) + ln(CD) = (ln A - ln B) + D ln C
この式に、
A = v0,
B = cosθ,
C = tan(θ/2 + π/4),
D = -μ/tanα
を代入すると、前ページの29,30行目の式が得られます。2014.10.20; 2014.10.21,25
6,7行目の式は、前ページの26行目の右の式にTEC-0-1-22-3,4の式を代入することによって得られます。
前ページの26行目の右の式から、
dθ/dt = g(sinα)(cosθ)/v = g(sinα)(cosθ)v-1
だと分かります。
この式に、TEC-0-1-22-3,4の式から得られる、
v-1 = [(cosθ)/v0][tan(θ/2 + π/4)]μ/tanα
という式を代入します。2014.10.21
8行目の式は、次の様にして導出されました。
2sin(θ/2 + π/4)cos(θ/2 + π/4)
= sin(θ + π/2) ∵倍角の公式
= cosθ
最後の部分については、
sin(θ + π/2) = cosθ
を公式として直接覚えておいても構いませんが、私は公式を、
sin(π/2 - θ) = cosθ
cos(π/2 - θ) = sinθ
という風に暗記しており、この公式を使って、
sin(θ + π/2) = cos[π/2 - (θ + π/2)] = cos(-θ) = cosθ
という風に暗算で出します。
cosθ = cos(-θ) = sin[π/2 - (-θ)] = sin(π/2 + θ)
という風に考えても構いません。
この方が、暗記部分がsinとcosの入れ替えに対して対称なので、記憶量が少なく成り暗記ミスも減るし、座標平面の第1象限を思い浮かべて図形的に即席チェックできるからです。2014.10.21,25
9,10行目の式は、8行目の式を3,4行目の式に代入する事によって得られます。
φ ≡ θ/2 + π/4
と書くと、
v = (v0/cosθ)(tanφ)-μ/tanα
= v0(cosθ)-1[(sinφ)/(cosφ)]-μ/tanα
= v0[2(sinφ)(cosφ)]-1(sinφ)-μ/tanα(cosφ)μ/tanα
= (v0/2)(sinφ)-1(sinφ)-μ/tanα(cosφ)-1(cosφ)μ/tanα
= (v0/2)(sinφ)-1-μ/tanα(cosφ)-1+μ/tanα
という風に計算できます。2014.10.21,25
11,12行目の式は、8行目の式を6,7行目の式に代入する事によって得られます。
φ ≡ θ/2 + π/4
と書くと、
dθ/dt = [g(sinα)/v0](cosθ)2(tanφ)μ/tanα
= [g(sinα)/v0][2(sinφ)(cosφ)]2[(sinφ)/(cosφ)]μ/tanα
= 4[g(sinα)/v0](sinφ)2(cosφ)2(sinφ)μ/tanα(cosφ)-μ/tanα
= 4[g(sinα)/v0](sinφ)2+μ/tanα(cosφ)2-μ/tanα
という風に計算できます。2014.10.21,25
13〜15行目については、θ → π/2 - 0で、
θ/2 + π/4 → π/2 - 0
∴ sin(θ/2 + π/4) → 1, cos(θ/2 + π/4) → +0
である事を念頭に置いて、以下の様に判断できます。
| -1-μ/tanα | -1+μ/tanα | [sin(θ/2 + π/4)]-1-μ/tanα | [cos(θ/2 + π/4)]-1+μ/tanα | |
| μ < tanα | - | - | → 1 | → ∞ |
| μ = tanα | - | 0 | → 1 | 1 |
| μ > tanα | - | + | → 1 | → +0 |
16〜20行目に書かれている問題の解答は、TEC-0-1-55に書かれています。2014.10.21,25
29,30行目に書かれているコメントについては、COM-1-10-18〜21に補足説明があります。2014.10.25
【SEOテキスト】03.9.24宇田雄一,ここで不定積分に関する数学公式とθ=0のときv=v0である事を使った。v=v0/cosθ[tan(θ/2+π/4)]-μ/tanαこれとTEC-0-1-21-26より、θ=g sinα/v0(cosθ)2[tan(θ/2+π/4)]μ/tanα,cosθ=2sin(θ/2+π/4)cos(θ/2+π/4)を考えに入れると、v=(v0/2)[sin(θ/2+π/4)]-1-μ/tanα×[cos(θ/2+π/4)]-1+μ/tanα,θ=4g sinα/v0[sin(θ/2+π/4)]2+μ/tanα[cos(θ/2+π/4)]2-μ/tanα,vの式から、μ<tanαならばθ→π/2でv→∞,μ=tanαならばθ→π/2でv→v0/2,μ>tanαならばθ→π/2でv→0だと分かる。有限の時間でθがπ/2に達するかどうかは、θの式を使って∫π/2,0,dt/dθdθ=∫π/2,0,1/θdθを計算して確かめてみる必要がある。y,O,x,θ,vここまででx,yをtで表すという、当初の目的は、まだ果たされていないが、意欲のある人は、この問題に取り組もう。