TEC-0-5-26
ホーム物理学正典量子力学正典 > TEC-0-5-26

TEC-0-5-26 量子力学正典

 次のページ 
 前のページ 
 目次 
 


 CAN-5-1-18 

 CAN-5-1-21 

 CAN-5-1-22 

 CAN-5-1-23 

 TEC-0-5-49 

 COM-5-36 














▲このページの上端へ行く

【補足説明欄】

第20行目では、位相因子(絶対値1の複素係数)を勝手に1に決めています。
第13行目から第19行目までの計算の結果とCAN-5-1-21-23,24によって、
(L1±iL2)|r,l,k>=c±(r,l,k)[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>, |c±(r,l,k)|=1
という風に書ける事が分かりますが、c±(r,l,k)=1である事は言えません。
しかし、|r,l,k>'を、
|r,l,k>'=c'(r,l,k)|r,l,k>, |c'(r,l,k)|=1
という風に定義すれば、
(L1±iL2)|r,l,k>'=c'(r,l,k)c±(r,l,k)[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>=[c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)][l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>'
だから、
c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)=1
とする事が出来れば、
(L1±iL2)|r,l,k>'=[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>'
と成ります。
さて、c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)=1すなわちc'(r,l,k±1)=c±(r,l,k)c'(r,l,k)をc'(r,l,k)に対する漸化式と見る時、この漸化式に従うc'(r,l,k)が|c'(r,l,k)|=1の範囲に存在する事は、以下の様にして示されます。
(L1+iL2)|r,l,k>=c+(r,l,k)[l(l+1)-k(k+1)]1/2h|r,l,k+1>の両辺に<r',l',k'|を作用させる事によって、
<r',l',k'|(L1+iL2)|r,l,k>=c+(r,l,k)[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r',l',k'|r,l,k+1>
この式の両辺の複素共役を取ると、 CAN-5-1-6-28,29によって、
<r,l,k|(L1+iL2)†|r',l',k'>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'> (*は複素共役を表します)
この式と
(L1+iL2)†=(L1-iL2) ∵COM-5-3-25,26,COM-5-24-14〜16
によって、
<r,l,k|(L1-iL2)|r',l',k'>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'>
この式の左辺に(L1-iL2)|r',l',k'>=c-(r',l',k')[l'(l'+1)-k'(k'-1)]1/2h|r',l',k'-1>を代入すると、
c-(r',l',k')[l'(l'+1)-k'(k'-1)]1/2h<r,l,k|r',l',k'-1>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'>
この式と<r,l,k|r',l',k'-1>=<r,l,k+1|r',l',k'>=δ(r-r')δl,l'δk+1,k'/r2(∵CAN-5-1-21-23,24)より、
c-(r,l,k+1)[l(l+1)-(k+1)k]1/2h=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h
∴c-(r,l,k+1)=c+(r,l,k)*
この事を使って、
c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)
が漸化式c'(r,l,k±1)=c±(r,l,k)c'(r,l,k)の解に成っている事を、以下に示します。
c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)ならば、
c'(r,l,k+1)=c+(r,l,k)c+(r,l,k-1)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)=c+(r,l,k)c'(r,l,k)
c'(r,l,k-1)=c+(r,l,k-2)c+(r,l,k-3)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)=[c+(r,l,k-1)]-1c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*c'(r,l,k) ∵|c+(r,l,k-1)|=1
 =c-(r,l,k)c'(r,l,k) ∵c-(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*
ここで、2つの漸化式c'(r,l,k+1)=c+(r,l,k)c'(r,l,k)とc'(r,l,k-1)=c-(r,l,k)c'(r,l,k)が矛盾しない事を、c-(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*が保証している事に、注目して下さい。
さらに、 c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)ならば、
|c'(r,l,k)|=|c+(r,l,k-1)||c+(r,l,k-2)|・・・|c+(r,l,-l+1)||c+(r,l,-l)|=1
したがって、|e8(r,l,k)>としては最初から|r,l,k>'を採用する事が出来るので、そうします。
2010.12.21,25,26













▲このページの上端へ行く


【SEOテキスト】宇田雄一06.6.30,CAN-5-1-21-25,26,18,19,馬婆∫dr<r',θ',φ'|r,n/2,k><r,n/2,k|r'',θ'',φ''>r2=馬婆∫dr・1/r2δ(r'-r)δ(r''-r)Yn/2,k(θ',φ')Yn/2,k(θ'',φ'')=1/r'2δ(r'-r'')馬婆Yn/2,k(θ',φ')Yn/2,k(θ'',φ'')=1/r'2δ(r'-r'')1/sinθ'δ(θ'-θ'')δ(φ'-φ'')=<r',θ',φ'|r'',θ'',φ''>,CAN-5-1-22-2〜7,L3(L1±iL2)|r,l,k>=(L1±iL2)L3|r,l,k>+ih(L2±iL1)|r,l,k>=(k±1)h(L1±iL2)|r,l,k>,<r',l,k|(L1±iL2)†(L1±iL2)|r,l,k>=<r',l,k|[(L1)2+(L2)2-+hL3]|r,l,k>=<r',l,k|[L2-(L3)2-+hL3]|r,l,k>=(1/r2)δ(r'-r)[l(l+1)-k2-+k]h2∴(L1±iL2)|r,l,k>=√l(l+1)-k(k±1)h|r,l,k±1>,CAN-5-1-22-8,9,<r,l,k|L3|r',l',k'>=k'h<r,l,k|r',l',k'>,CAN-5-1-23-14〜17∵CAN-5-1-18-11〜14と同様の理由による。CAN-5-1-23-18,[L1j+L2j,L1l+L2l]-=[L1j,L1l]-+[L2j,L2l]-