TEC-0-5-26
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TEC-0-5-26 量子力学正典
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【補足説明欄】

第20行目では、位相因子(絶対値1の複素係数)を勝手に1に決めています。
第13行目から第19行目までの計算の結果とCAN-5-1-21-23,24によって、
(L1±iL2)|r,l,k>=c±(r,l,k)[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>, |c±(r,l,k)|=1
という風に書ける事が分かりますが、c±(r,l,k)=1である事は言えません。
しかし、|r,l,k>'を、
|r,l,k>'=c'(r,l,k)|r,l,k>, |c'(r,l,k)|=1
という風に定義すれば、
(L1±iL2)|r,l,k>'=c'(r,l,k)c±(r,l,k)[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>=[c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)][l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>'
だから、
c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)=1
とする事が出来れば、
(L1±iL2)|r,l,k>'=[l(l+1)-k(k±1)]1/2h|r,l,k±1>'
と成ります。
さて、c'(r,l,k)c±(r,l,k)/c'(r,l,k±1)=1すなわちc'(r,l,k±1)=c±(r,l,k)c'(r,l,k)をc'(r,l,k)に対する漸化式と見る時、この漸化式に従うc'(r,l,k)が|c'(r,l,k)|=1の範囲に存在する事は、以下の様にして示されます。
(L1+iL2)|r,l,k>=c+(r,l,k)[l(l+1)-k(k+1)]1/2h|r,l,k+1>の両辺に<r',l',k'|を作用させる事によって、
<r',l',k'|(L1+iL2)|r,l,k>=c+(r,l,k)[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r',l',k'|r,l,k+1>
この式の両辺の複素共役を取ると、 CAN-5-1-6-28,29によって、
<r,l,k|(L1+iL2)†|r',l',k'>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'>　(*は複素共役を表します)
この式と
(L1+iL2)†=(L1-iL2) ∵COM-5-3-25,26,COM-5-24-14～16
によって、
<r,l,k|(L1-iL2)|r',l',k'>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'>
この式の左辺に(L1-iL2)|r',l',k'>=c-(r',l',k')[l'(l'+1)-k'(k'-1)]1/2h|r',l',k'-1>を代入すると、
c-(r',l',k')[l'(l'+1)-k'(k'-1)]1/2h<r,l,k|r',l',k'-1>=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h<r,l,k+1|r',l',k'>
この式と<r,l,k|r',l',k'-1>=<r,l,k+1|r',l',k'>=δ(r-r')δl,l'δk+1,k'/r2(∵CAN-5-1-21-23,24)より、
c-(r,l,k+1)[l(l+1)-(k+1)k]1/2h=c+(r,l,k)*[l(l+1)-k(k+1)]1/2h
∴c-(r,l,k+1)=c+(r,l,k)*
この事を使って、
c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)
が漸化式c'(r,l,k±1)=c±(r,l,k)c'(r,l,k)の解に成っている事を、以下に示します。
c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)ならば、
c'(r,l,k+1)=c+(r,l,k)c+(r,l,k-1)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)=c+(r,l,k)c'(r,l,k)
c'(r,l,k-1)=c+(r,l,k-2)c+(r,l,k-3)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)=[c+(r,l,k-1)]-1c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*c'(r,l,k) ∵|c+(r,l,k-1)|=1
　=c-(r,l,k)c'(r,l,k) ∵c-(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*
ここで、2つの漸化式c'(r,l,k+1)=c+(r,l,k)c'(r,l,k)とc'(r,l,k-1)=c-(r,l,k)c'(r,l,k)が矛盾しない事を、c-(r,l,k)=c+(r,l,k-1)*が保証している事に、注目して下さい。
さらに、 c'(r,l,k)=c+(r,l,k-1)c+(r,l,k-2)・・・c+(r,l,-l+1)c+(r,l,-l)ならば、
|c'(r,l,k)|=|c+(r,l,k-1)||c+(r,l,k-2)|・・・|c+(r,l,-l+1)||c+(r,l,-l)|=1
したがって、|e8(r,l,k)>としては最初から|r,l,k>'を採用する事が出来るので、そうします。
2010.12.21,25,26


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