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目次
CAN-1-1-4
CAN-1-1-5
TEC-0-1-14
COM-1-5
COM-1-6
問題14
【補足説明欄】
第1行目が問題12の問題で、第2行目から第4行目までが問題12の解答です。2011.02.01
第2,3行目の最も左の等号の成立は、CAN-1-1-4-25のL≡r×pの両辺をtで微分し、右辺に積の微分法を適用すると、分かります。2010.11.27
第2,3行目の中央の等号の成立は、CAN-1-1-1-6,7のv≡dr/dtとCAN-1-1-4-22,23の「mvをpと書く」という規約と、
dp/dt=(d/dt)(mv)=mdv/dt
=mα ∵α≡dv/dt(CAN-1-1-1-8,9)
=F ∵mα=F(CAN-1-1-4-6)
という計算により、分かります。2010.11.27,28
第2,3行目の最も右の等号の成立は、v×mv=0である事と、CAN-1-1-4-26のN≡r×Fから、分かります。
v×mv=0が成り立つ理由は、向きの同じベクトル同士の外積はゼロベクトルに成る事です。2010.11.28
第4行目の0は誤記です。
正しくは0です。
ベクトルだから太字にしなくてはいけませんでした。2010.11.28
第6,7行目が問題13の問題文で、第8行目から第30行目までが問題13の解答です。2011.02.01
第8,9行目について。
Fがtに依存しても第9行目以降の論法はそのまま成り立つので条件a,b,cは全て同値ですが、Fがtに依存する場合はFを保存力とは呼びません。2011.02.12
第13,14,17,18行目の積分は線積分です。
線積分の定義は、TEC-0-1-14-2〜12に、書かれています。2013.02.18
第13,14行目の式では、C1の向きがCの向きに一致している場合(C2の向きがCの向きと逆の場合)には
∫CF(r)・dr=∫C1F(r)・dr-∫C2F(r)・dr
C1の向きがCの向きと逆の場合(C2の向きがCの向きと同じ場合)には
∫CF(r)・dr=-∫C1F(r)・dr+∫C2F(r)・dr
なのに、CとC1の向きの関係を指定しなかったので、中央辺で複合±を用いました。2011.02.05
第13,14行目の式の右の等号の成立理由として、条件a(CAN-1-1-5-7〜9)が使われています。2011.02.04,06
第17,18行目の式の右の等号の成立理由として、条件b(CAN-1-1-5-10〜12)が使われています。2011.02.06
第22行目から第25行目まででは、偏微分の順序を変更しても結果は変わらない事が、使われています。
その点を省略せずに書くと、
(∂/∂x)F2=(∂/∂x)[-(∂/∂y)U(r)]=-(∂/∂x)(∂/∂y)U(r)=-(∂/∂y)(∂/∂x)U(r)=(∂/∂y)[-(∂/∂x)U(r)]=(∂/∂y)F1,
(∂/∂y)F3=(∂/∂y)[-(∂/∂z)U(r)]=-(∂/∂y)(∂/∂z)U(r)=-(∂/∂z)(∂/∂y)U(r)=(∂/∂z)[-(∂/∂y)U(r)]=(∂/∂z)F2,
(∂/∂z)F1=(∂/∂z)[-(∂/∂x)U(r)]=-(∂/∂z)(∂/∂x)U(r)=-(∂/∂x)(∂/∂z)U(r)=(∂/∂x)[-(∂/∂z)U(r)]=(∂/∂x)F3
という風に成ります。2011.02.07
第30行目では、積分記号として、∫の代わりに、1行に収めるために、Zの左右を逆にした様な記号を使っています。
この記号は、公認された記号ではなく、私の創作です。
積分記号∫の由来がsumの頭文字Sである事を考えると、Zの左右を逆にした様な記号と言うよりは、Sをカクカクと書いたもの、と言うべきかもしれません。2011.02.13
第30行目の ∫S dS・∇×F は面積分です。
面積分の定義は、TEC-0-1-14-14〜24に、書かれています。2013.02.18
このページの終盤の内容についてのコメントが、COM-1-5-30〜COM-1-6-2に、書かれています。2013.02.25
【SEOテキスト】宇田雄一03.8.3[問題12]CAN-1-1-4-27〜30の公式を導出せよ。dL/dt=r×p+r×p=v×mv+r×F=N,=0[問題13]CAN-1-1-5-7〜15の条件a,b,cが全て同値である事を証明せよ。解:Fがrのみの関数でtに陽には依存しない事を当然の前提として解答する。まずaが真ならば任意の閉曲線Cに対して、C上に勝手に異なる2点P,Qを取り、Cに沿ってPからQに至る曲線のうちの一方をC1とし、もう一方をC2とする。すると∫CF(r)・dr=±∫C1F(r)・dr-+∫C2F(r)・dr=0故にbも成り立つ。逆にbが真ならばr1からr2に到る任意の2つの経路C1,C2に対して、∫C1F(r)・dr-∫C2F(r)・dr=∫r1→r2→r1F(r)・dr=0となり、aも成り立つ事が分かる。aが成り立つならばCAN-1-1-5-18,19を成り立たせるUが存在する。(問題14)このUを用いれば、∂F2/∂x=-∂2U/∂x∂y=∂F1/∂y,∂F3/∂y=-∂2U/∂y∂z=∂F2/∂z,∂F1/∂z=-∂2U/∂z∂x=∂F3/∂xと成る事が分かる。故にcも成り立つ。逆にcが成り立つならば∇×F=(∂F3/∂y-∂F2/∂z)i+(∂F1/∂z-∂F3/∂x)j+(∂F2/∂x-∂F1/∂y)k=0だから、任意の閉曲線Cに対して、Cを縁とする面Sを勝手にとればストークス定理より∫CF(r)・dr=∫SdS・∇×F=0となり、bも成り立つと分かる。