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CAN-1-1-5
【補足説明欄】
第1行目から第5行目までは、前ページの問題13についてのコメントです。
問題13の証明は、前ページの第30行目までで完了しています。
この証明を理解する上で、本ページの第1行目から第5行目までに書かれているコメントは全く必要ないので、本来は、このコメントをCAN-1-1-5-7〜12に対するコメントとしてCOMMENTSに記載すべきでしたが、何故かここに書いてしまいました。2011.02.14
第3,4行目の式の成立は、直感的には、v(t)dt = (dr/dt)dt = dr と考えると、分かります。2011.02.15
第15,16行目では、
∫0(x+ε,y,z)F(r')・dr'-∫0(x,y,z)F(r')・dr'
を
[∫0(x+ε,y,z)-∫0(x,y,z)]F(r')・dr'
と略記しています。2011.02.22
第18行目の※※は、次ページ冒頭に書かれています。
第19,20行目の等号の成立は、(x,y,z)から(x+ε,y,z)に到る経路を
r'=x'i+yj+zk (x≦x'≦x+ε)
として、
F(r')・dr'=[F1(x',y,z)i+F2(x',y,z)j+F3(x',y,z)k]・(dr'/dx')dx'
=[F1(x',y,z)i+F2(x',y,z)j+F3(x',y,z)k]・idx'
=F1(x',y,z)dx'
と考える事によって、分かります。2011.02.26
【SEOテキスト】03.8.3宇田雄一※Fがrのみの関数でtに陽には依存しない場合には、Fが保存力であってもなくても、∫t2t1dtF(r(t))・v(t)=∫r(t2)r(t1)F(r)・drもちろん右辺の積分経路は質点の軌道の一部だ。[問題14]CAN-1-1-5-20で述べられている同値性を証明せよ。解:Fが保存力ならばCAN-1-1-5-7〜9が成立するので線積分-∫rOF(r')・dr'は積分経路によらずrのみの関数となる。これをU(r)と定義しよう。すると∂U(r)/∂x=limε→0U(x+ε,y,z)-U(x,y,z)/ε=-limε→01/ε[∫(x+ε,y,z)O-∫(x,y,z)O]F(r')・dr'=-limε→01/ε∫(x+ε,y,z)(x,y,z)F(r')・dr'←※※=-limε→01/ε∫x+εxF1(x',y,z)dx'=-F1(x,y,z)同様にして∂U/∂y=-F2,∂U/∂z=-F3も示される。逆にF1=-∂U/∂x,F2=-∂U/∂y,F3=-∂U/∂zならば直ちにCAN-1-1-5-14,15が成り立つので、Fは保存力だ。※偏微分の順を交換しても良い事:∂2/∂x∂y=∂2/∂y∂xなど:は数学の定理として使って良い事にする。どの範囲の関数までならこの定理が通用するのかを僕は知らないし、証明も僕は出来ない。物理学の世界では、それで許される。