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目次
CAN-1-1-2
TEC-0-1-14
TEC-0-1-15
【補足説明欄】
第1行目の[束縛運動の方程式]は、第2行目から第21行目までの記事のタイトルです。2011.10.10
第7行目から第9行目までの式は、まずCAN-1-1-4-6の式にCAN-1-1-2-4,5の式とCAN-1-1-7-4のF=f+Rを代入して、
m[(dv/dt)eT+(v2/ρ)eN]=f+R
を導き、その後で、この式にv=ds/dtとf=fTeT+fNeN+fBeBとR=RNeN+RBeBを代入する事によって、得られます。
v=ds/dtの成立根拠は、CAN-1-1-2の補足説明欄に書かれています。
TEC-0-1-14-28にも、その事が、書かれています。2011.10.25,26,29;2013.02.18
第10,11行目の式の成立根拠は、eT,eN,eBが線形独立である事と第7行目から第9行目までの式です。
第7行目から第9行目までの式の右辺を左辺に移項して整理すると、
(md2s/dt2-fT)eT+(mv2/ρ-fN-RN)eN+(-fB-RB)eB=0
この式とeT,eN,eBが線形独立である事より、
md2s/dt2-fT=0, mv2/ρ-fN-RN=0, -fB-RB=0
だと分かります。2011.10.31,2011.11.05
第17行目では、∇φ(x,y,z,t)が曲面φ(x,y,z,t)=0に垂直なベクトルである事、が使われています。
∇φ(x,y,z,t)が曲面φ(x,y,z,t)=0に垂直である理由は、TEC-0-1-12[問題18]の解答と同様です。
つまり、(x,y,z)=r(s)=(x(s),y(s),z(s))を曲面φ(x,y,z,t)=0上の任意の曲線とするならば、
(d/ds)φ(x(s),y(s),z(s),t)=0だから、
[dr(s)/ds]・∇φ(x(s),y(s),z(s),t)=[idx(s)/ds+jdy(s)/ds+kdz(s)/ds]・[i∂1φ(x(s),y(s),z(s),t)+j∂2φ(x(s),y(s),z(s),t)+k∂3φ(x(s),y(s),z(s),t)]
=[dx(s)/ds]∂1φ(x(s),y(s),z(s),t)+[dy(s)/ds]∂2φ(x(s),y(s),z(s),t)+[dz(s)/ds]∂3φ(x(s),y(s),z(s),t)
=(d/ds)φ(x(s),y(s),z(s),t)
=0
と成り、任意のs0に対してベクトル∇φ(x(s0),y(s0),z(s0),t)は曲線(x,y,z)=r(s)=(x(s),y(s),z(s))のs=s0での接線に垂直である事、が分かります。2011.11.06,07,08
第17行目から第21行目までのλは、定数ではなくtの関数で、tのどういう関数かは運動ごとに異なります。2011.11.09,21
第18行目から第21行目までの式の成立は、まずCAN-1-1-4-6の式mα=FにCAN-1-1-1-18,19の式α=(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)kとCAN-1-1-7-15の式F=f+Rを代入して
m[(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k]=f+R
を得た後で、この式にCAN-1-1-7-17行目の式R=λ∇φ(x,y,z,t)を代入して
m[(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k]=f+λ∇φ(x,y,z,t)
∴m[(d2x/dt2)i+(d2y/dt2)j+(d2z/dt2)k]=f1i+f2j+f3k+λ{[∂φ(x,y,z,t)/∂x]i+[∂φ(x,y,z,t)/∂y]j+[∂φ(x,y,z,t)/∂z]k}
∴[md2x/dt2-f1-λ∂φ(x,y,z,t)/∂x]i+[md2y/dt2-f2-λ∂φ(x,y,z,t)/∂y]j+[md2z/dt2-f3-λ∂φ(x,y,z,t)/∂z]k=0
と考えると、i,j,kの線形独立性により
md2x/dt2-f1-λ∂φ(x,y,z,t)/∂x=0, md2y/dt2-f2-λ∂φ(x,y,z,t)/∂y=0, md2z/dt2-f3-λ∂φ(x,y,z,t)/∂z=0
だと分かります。2011.11.11,14,15,19
第17行目から第21行目までの式の成立根拠は、TEC-0-1-15-2〜4でも、説明されています。2013.02.18
第22行目の[エネルギー保存則]は、このページの第23行目から次ページ第3行目までの記事、のタイトルです。2011.10.11
第24,25行目の式の成立根拠は、TEC-0-1-15の[問題24]に書かれています。2011.11.23,2011.12.21
第27,28行目のsはCAN-1-1-1-25のsです。
s'もCAN-1-1-1-25のsなのですが、左辺と積分の上端で文字sを使ってしまったので、積分変数としては文字s'を使いました。
fがrのみに依存する場合、f=f(r)=fT(r)eT+fN(r)eN+fB(r)eBつまりfT=fT(r),fN=fN(r),fB=fB(r)です。
CAN-1-1-1-23〜30でP0からPまでの経路の長さがs'に成った瞬間のPの位置ベクトルrをr(s')とするとき、fT(s')とはfT(r(s'))の事です。
つまりfT(s')はP0からPまでの経路の長さがs'に成った瞬間のfTです。
eT,eN,eBがrに依存する事にも注意して下さい。2011.12.06,07,09,10,18
第29,30行目の式の成立根拠は、TEC-0-1-15の[問題25]に書かれています。2011.12.21
脚注の「TECH-0-1-14，15」は誤りです。正しくは「TEC-0-1-14，15」です。
【SEOテキスト】03.8.8,宇田雄一,第2章,質点の力学,[束縛運動の方程式],(1)曲線上の運動,質点の運動経路を表す曲線r=r(s)が、あらかじめ分かっておりF=f+R,f=fTeT+fNeN+fBeB,R=RNeN+RBeBとすると、CAN-1-1-2-2〜5により,m(,eT+,v2,-,ρ,eN)=fTeT+(fN+RN)eN+(fB+RB)eB,∴m,=fT,m,v2,-,ρ,=fN+RN,0=fB+RB,(2)曲面上の運動,質点が曲面:φ(x,y,z,t)=0:内に存し続ける事があらかじめ分かっている場合、垂直抗力をRとし、F=f+Rとすると、,{,φ(x,y,z,t)=0,R=λ∇φ(x,y,z,t),m,=f1+λ,∂φ,-,∂x,m,=f2+λ,∂φ,-,∂y,m,=f3+λ,∂φ,-,∂z,[エネルギー保存則],(1)曲線上の運動,1,-,2,m[v(t2)]2-,1,-,2,m[v(t1)]2=∫,t2,t1,fT v dt,特にfがrのみに依存する場合、U(s)≡-∫,s,0,fT(s') ds' とすると、1,-,2,m[v(t2)]2+U(s(t2))=1,-,2,m[v(t1)]2+U(s(t1))