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目次
CAN-1-1-4
【補足説明欄】
第9,10行目の等号の成立は、F(r)=-∇U(r)である事から分かります。
したがって、本当は右辺を-(dr/dλ)・[∇U(r)]と書くべきでした。
F(r)=-∇U(r)であるのは、Fが保存力だからです。(CAN-1-1-5-17〜21)
2011.04.03,10,11
第11,12行目の等号の成立は、∇の定義と内積の定義から分かります。
第9,10行目の内容からして、
(dr/dλ)・∇U(r)=(dr/dλ)・[∇U(r)]
=[d(xi+yj+zk)/dλ]・{[∂U(r)/∂x]i+[∂U(r)/∂x]j+[∂U(r)/∂x]k}
=[(dx/dλ)i+(dy/dλ)j+(dz/dλ)k]・{[∂U(r)/∂x]i+[∂U(r)/∂x]j+[∂U(r)/∂x]k}
=(dx/dλ)[∂U(r)/∂x]+(dy/dλ)[∂U(r)/∂y]+(dz/dλ)[∂U(r)/∂z]
という風に計算するのが正しいけれど、
(dr/dλ)・∇U(r)=[(dr/dλ)・∇]U(r)
={[d(xi+yj+zk)/dλ]・[i(∂/∂x)+j(∂/∂y)+k(∂/∂z)]}U(r)
={[(dx/dλ)i+(dy/dλ)j+(dz/dλ)k]・[i(∂/∂x)+j(∂/∂y)+k(∂/∂z)]}U(r)
=[(dx/dλ)(∂/∂x)+(dy/dλ)(∂/∂y)+(dz/dλ)(∂/∂z)]U(r)
=(dx/dλ)[∂U(r)/∂x]+(dy/dλ)[∂U(r)/∂y]+(dz/dλ)[∂U(r)/∂z]
という風に計算しても同じ結果に至ります。
だから、第9,10行目の様に-(dr/dλ)・[∇U(r)]を-(dr/dλ)・∇U(r)と略記しても誤解は生じません。2011.04.10,11
第13,14行目の等号の成立は、U(r)=U(xi+yj+zk)をU(x,y,z)の様に見ると分かります。
チェイン・ルールについては、TEC-0-1-4-4〜10で説明されています。2011.04.12
第17行目の‘const.’はconstant(定数)の事です。
だから、あえて書くならば、「U=const.面」とは、いずれかの定数Cを使って{r|U(r)=C}と表される集合の事です。2011.04.13
第19行目の「U上の」は「U=const.面上の」の誤りです。
正：r=r(λ)をU=const.面上の任意の曲線とする
誤：r=r(λ)をU上の任意の曲線とする
2011.04.15
第21行目の等号の成立は、第7,8行目の式と第20,21行目左の式を使って、
(dr/dλ)・F(r(λ))=-(d/dλ)U(r(λ))=0
と考える事によって、分かります。2011.04.17,18
第25行目で「dU(r(λ))/dλの」と「値が最も小さくなる」の間が空いているのは、誤って「dU(r(λ))/dλの絶対値が最も小さくなる」と書いた後で、その間違いに気付いて消しゴムで消したからです。2011.04.19
第28,29行目の等号の成立は、第7,8行目の式と内積の定義を使って、
-(d/dλ)U(r(λ))=(dr/dλ)・F(r(λ))=|dr/dλ|・|F(r(λ))|cosθ
という風に計算する事によって、分かります。2011.04.23,26
第30行目の等号の成立は、第5行目の|dr/dλ|=1を使うと分かります。2011.04.26
【SEOテキスト】03.8.3宇田雄一※vに垂直な力はCAN-1-1-4-9,10の右辺に寄与しない。[問題17]Fが保存力である場合、|dr/dλ|=1を満たす任意の曲線r=r(λ)に対して次式が成り立つ事を示せ。dr/dλ・F(r(λ))=-d/dλU(r(λ))解:dr/dλ・F(r(λ))=-dr/dλ・∇U(r)=-[dx/dλ∂U(r)/∂x+dy/dλ∂U(r)/∂y+dz/dλ∂U(r)/∂z]=-d/dλU(r(λ))チェイン・ルールだぞ![問題18]Fが保存力である場合、FがU=const.面(等ポテンシャル面)に垂直である事を示せ。解:前問においてr=r(λ)をU上の任意の曲線とするならばd/dλU(r(λ))=0だから(dr/dλ)・F(r(λ))=0[問題19]問題17において、dr/dλの向きがFの向きに一致したときにdU(r(λ))/dλの値が最も小さくなる。その理由を述べよ。解:Fとdr/dλのなす角をθとすると、-d/dλU(r(λ))=|dr/dλ|・|F(r(λ))|cosθ=|F(r(λ))|cosθ・・・・・θ=0で最大