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目次
CAN-1-1-12
CAN-1-1-13
TEC-0-1-24
TEC-0-1-25
TEC-0-1-26
TEC-0-1-62
【補足説明欄】
1,2行目の等号の成立根拠は、TEC-0-1-62に書かれています。2014.11.30
3行目の等号の成立は、1,2行目の右辺に
exp(iω0t) = cos(ω0t) + i sin(ω0t)
を代入して整理する事によって、分かります。2014.11.30
4行目の a'sin(ω0t + b') は、3行目の
2a cos(ω0t) - 2b sin(ω0t)
をまとめた物です。
a' ≡ √[(2a)2 + (2b)2]
とすると、
sin b' = 2a/a'
cos b' = -2b/a'
なる実数 b' が必ず存在します。
この様な a', b' に対しては、
2a cos(ω0t) - 2b sin(ω0t)
= a'(sin b')cos(ω0t) + a'(cos b')sin(ω0t)
= a' sin(b' + ω0t)
です。2014.11.30;2014.12.04
4行目の式も (自由一般解) + (特殊解) の形に成っていますが、この特殊解を見付けるのは難しいので、ω = ω0 の場合には、一般性を維持したまま不定積分の繰り返しで解きました。
見付けるべき特殊解が分かった後で考えてみると、ω = ω0 の場合には、外力によって一定のペースでエネルギーが供給され続け一定のペースで力学的エネルギーが増大するだろう、と予想して、この特殊解を見付ける事が出来たかもしれない、と思います。
ω = ω0 の場合に単振動系がエネルギーを吸収し続ける事は、「共鳴」とか「共振」と呼ばれます。2014.11.30;2014.12.04
9行目のAは、CAN-1-1-12-18のAやTEC-0-1-24-5,6,20,21のAやTEC-0-1-25-9,10,22のAやTEC-0-1-26-14のAとは、無関係です。2014.12.06
9行目のBは、CAN-1-1-12-18のBやTEC-0-1-24-13,14,26,27のBやTEC-0-1-25-15,16のBやTEC-0-1-26-25,26のBとは、無関係です。2014.12.06
10,11行目の式の成立は、9行目の式
x = A sin(ωt + B)
をCAN-1-1-13-5の式
d2x/dt2 + 2μdx/dt + (ω0)2x = f cos(ωt)
に代入する事によって、分かります。2014.12.06
12行目の式は、10,11行目の式の左辺を整理した物です。2014.12.06,08
13〜19行目では、12行目の式の左辺が
f[cos(-B)cos(ωt + B) - sin(-B)sin(ωt + B)]
に一致する様に、A, Bの値を決めています。
この様なA, Bの値に対しては、三角関数の加法定理によって、12行目の式の左辺は、
f cos[(-B) + (ωt + B)] = f cos(ωt)
と成り、12行目の式は恒等式に成るから、
x = A sin(ωt + B)
は、CAN-1-1-13-5の微分方程式の特殊解です。
この事が21行目に「上手く行く」という言葉で書かれています。2014.12.06,08
16〜19行目の条件を満たすBが存在する事は、16〜19行目の式の右辺の2乗の和が1である事によって、保証されています。
与えられた実数 a, b に対して、a2 + b2 = 1 ならば必ず、
sinθ = a
cosθ = b
を満たすθが存在する事が、平面極座標(CAN-1-1-2-9〜14)を思い浮かべる事によって、分かります。
TEC-0-1-27-16〜19の条件は、
θ = -B
a = -(TEC-0-1-27-18,19の右辺)
b = (TEC-0-1-27-16,17の右辺)
の場合に該当するので、TEC-0-1-27-16〜19の右辺の2乗の和が1ならば a2 + b2 = 1 と成り -B が必ず存在します。2014.12.06,08
22,23行目の式は、
cos(-B) = cos B
-sin(-B) = sin B
である事を使って、14〜19行目の式を整理した物です。2014.12.06
24〜26行目の内容の根拠は、TEC-0-1-25-21に対する補足説明に書かれている理屈と、CAN-1-1-13-5の微分方程式がその理屈の適用を受ける形に成っている事、および、TEC-0-1-24-15,16の関数やTEC-0-1-24-28,29の関数やTEC-0-1-25-19の関数が自由一般解である事です。
c2 - 4mk > 0の場合には、
(一般解) = Asin(ωt + B) + [TEC-0-1-24-15,16の関数(BをB'に書き換える)]
c2 - 4mk = 0の場合には、
(一般解) = Asin(ωt + B) + [TEC-0-1-24-28,29の関数(A,BをA',B'に書き換える)]
c2 - 4mk < 0の場合には、
(一般解) = Asin(ωt + B) + (TEC-0-1-25-19の関数)
です。
TEC-0-1-24の計算結果の引用でAやBをA'やB'に書き換えるのは、TEC-0-1-27-9に対する補足説明に書かれている事情を正しく反映させる為にです。2014.12.06,08
【SEOテキスト】03.10.6宇田雄一∴x=2Re[(a+ib-if/4ω0 t)eiω0t](a,b∈R)=2a cos(ω0t)-2[b-ft/(4ω0)]sin(ω0t)=a'sin(ω0t+b')+[f/(2ω0)]t sin(ω0t)↑CAN-1-1-12-18これが特殊解だが見つけ難いCAN-1-1-13-1〜5特殊解をx=Asin(ωt+B)とすると、-Aω2sin(ωt+B)+2μAωcos(ωt+B)+A(ω0)2sin(ωt+B)=f cos(ωt)∴A[(ω0)2-ω2]sin(ωt+B)+2μAωcos(ωt+B)=f cos(ωt),A√[(ω0)2-ω2]2+4μ2ω2=f∴A=f/√[(ω0)2-ω2]2+4μ2ω2,cos(-B)=2μω/√[(ω0)2-ω2]2+4μ2ω2,-sin(-B)=(ω0)2-ω2/√[(ω0)2-ω2]2+4μ2ω2とBを定めると、cos(-B)cos(ωt+B)-sin(-B)sin(ωt+B)=cos(ωt)となって上手く行くから、A=f/√[(ω0)2-ω2]2+4μ2ω2,cosB=2μω/f/A,sinB=(ω0)2-ω2/f/Aとすればx=Asin(ωt+B)は特殊解となる。これにTEC-0-1-24-15,16や28,29や25-19を加えると一般解が得られる。TEC-0-1-24-1〜TEC-0-1-27-6,dx(t)/dt+λx(t)=f(t)の解き方