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目次
CAN-1-1-12
TEC-0-1-27
TEC-0-1-28
【補足説明欄】
3〜16行目の内容は、c2 - 4mk > 0 の場合について、です。
18〜29行目の内容は、c2 - 4mk = 0 の場合について、です。2014.11.26
3,4行目の式の根拠は、CAN-1-1-12-24の式です。
この事は、TEC-0-1-24-3,4の左辺を展開するとCAN-1-1-12-24の式の左辺(÷m)に成る事から分かりますが、逆にCAN-1-1-12-24の式からTEC-0-1-24-3,4の式を作るには、次の様に考えます。
m(d/dt)2 + c d/dt + k = m(d/dt - α)(d/dt - β) ・・・(1)
が恒等式に成る様にα,βを決めたい。
そのためには、
-α -β = c/m
αβ = k/m
を満たすα,βを求めれば良い。
この様なα,βは、2次方程式
mx2 + cx + k = 0
の解である事(解と係数の関係)が知られています。
この方程式を解くと、解は
α = [-c + √(c2 - 4mk)]/(2m)
β = [-c - √(c2 - 4mk)]/(2m)
の2つだ、と分かります。
つまり、元の方程式
m d2x/dt2 + c dx/dt + kx = 0 (CAN-1-1-12-24)
中の d2x/dt2 を x2 に、dx/dt を x1 = x に、x を x0 = 1 に書き換えて得られる2次方程式、を解く事によってαとβを求める事が出来るわけです。
高校数学で習う「解と係数の関係」は、2次方程式
mx2 + cx + k = 0
の解がα,βならば、左辺は
mx2 + cx + k = m(x - α)(x - β) ・・・(2)
という風に因数分解されるはずである事、から導き出されるのでしたね。
まとめると、(1)の d/dt を x に書き換えれば(2)に成る事から、(2)を恒等式にするα,βが(1)をも恒等式にする事が分かる、という事です。2014.11.24,26;2014.12.02
x' = (d/dt - β)x と置くと、3,4行目の式は、
(d/dt - α)x' = 0
∴ dx'/dt = αx' ・・・(1)
である事を意味するので、
x' = A exp(αt) ・・・(2)
だと分かります。(A は積分定数)
これが5,6行目の式の根拠です。
(1)から(2)を得るのに、解を‘見付ける’のではなく導出する事は、
(1/x')dx'/dt = α
∴ (d/dt) ln x' = α
∴ ln x' = αt + a (aは積分定数)
∴ x' = exp(αt + a) = ea exp(αt)
という風に変形すれば、出来ます。2014.11.24,26
7〜10行目の式は、5,6行目の式の両辺に exp(-βt) を掛ける事によって、得られます。
5,6行目の式が
(d/dt - β)x = A exp(αt)
という形をしている事、に着目します。2014.11.24,26
11,12行目の式は、7〜10行目の式の両辺を別々に整理する事によって、得られます。
左辺については、
exp(-βt)(dx/dt - βx)
= exp(-βt) dx/dt - βexp(-βt) x
= (d/dt)[exp(-βt) x]
という変形をしています。
結果として、11,12行目の式は、
(d/dt)[x exp(-βt)] = A exp[(α-β)t]
という形に成っています。2014.11.24,26
13,14行目の式は、11,12行目の式の両辺を t で不定積分する事によって、得られます。
A'[√(c2 - 4mk)]/m = A
だから、A' を A と書きませんでした。
B は、A とは独立の積分定数です。
13,14行目の式は、
x exp(-βt) = A' exp[(α-β)t] + B
という形をしています。2014.11.24,26
15,16行目の式は、13,14行目の式の両辺を exp(-βt) で割る事によって、得られます。
15,16行目の式は、
x = A' exp(αt) + B exp(βt)
という形をしています。
実関数解を求めたいので、A', B としては任意の実数対を考えます。2014.11.24,26
18〜25行目の内容は、3〜12行目の式中の c2 - 4mk を 0 に書き換えただけの物です。
これは、α=βの場合に該当します。
24,25行目の式は、
(d/dt)[x exp(-βt)] = A
という形をしています。2014.11.24,26
26,27行目の式は、24,25行目の式の両辺を t で不定積分する事によって、得られます。
これは、13,14行目の式中の c2 - 4mk を 0 に書き換えた物とは、異なります。
26,27行目の式は、
x exp(-βt) = At + B
という形をしています。2014.11.24,26
28,29行目の式は、26,27行目の式の両辺を exp{[c/(2m)]t} で割る事によって、得られ、
x = (At + B)exp(βt)
という形をしています。
実関数解を求めたいので、A, B としては任意の実数対を考えます。2014.11.24,26
5〜16行目の推論と20〜29行目の推論の粗筋は、TEC-0-1-27-29〜TEC-0-1-28-12に、書き出されています。2014.11.26
【SEOテキスト】宇田雄一03.10.5,CAN-1-1-12-19〜24演算子法c2-4mk>0の場合、(d/dt- -c+√c2-4mk/2m)(d/dt- -c-√c2-4mk/2m)x=0∴(d/dt- -c-√c2-4mk/2m)x=Aexp(- c-√c2-4mk/2m t)∴exp(c+√c2-4mk/2m t)(dx/dt+c+√c2-4mk/2m x)=Aexp(c+√c2-4mk/2m t)exp(- c-√c2-4mk/2m t)∴d/dt[x・exp(c+√c2-4mk/2m t)]=Aexp(√c2-4mk/m t)∴x・exp(c+√c2-4mk/2m t)=A'exp(√c2-4mk/m t)+B∴x=A'exp(-c+√c2-4mk/2m t)+Bexp(-c-√c2-4mk/2m t),c2-4mk=0の場合、(d/dt+c/2m)(d/dt+c/2m)x=0∴(d/dt+c/2m)x=Aexp(-c/2m t)∴exp(c/2m t)(dx/dt+c/2m x)=A∴d/dt[x・exp(c/2m t)]=A∴x・exp(c/2m t)=At+B∴x=(At+B)exp(-c/2m t)