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目次
CAN-1-1-12
TEC-0-1-61
【補足説明欄】
2,3行目の式は、2次関数を標準形に持って行く技術を使って、
(d/dt)2 + (c/m)d/dt + k/m = [d/dt + c/(2m)]2 + [k/m - c2/(4m2)]
という風に式変形する事によって、CAN-1-1-12-24の式を書き直した物です。2014.11.25,26
7,8行目の式は、4行目の式の左辺を因数分解する事によって、得られます。2014.11.26
8行目までの部分は、解が複素数である場合の2次方程式の解法と同様です。
元の方程式
m d2x/dt2 + c dx/dt + kx = 0 (CAN-1-1-12-24)
中の d2x/dt2 を x2 に、dx/dt を x に、x を 1 に書き換えて得られる2次方程式を解く事によって、
m(d/dt - α)(d/dt - β) = m(d/dt)2 + c d/dt + k
を成り立たせる様なαとβを求める事が出来る理由としては、TEC-0-1-24-3,4に対する補足説明に書かれている理由付けが、ここでも有効です。2014.11.25,26
7〜17行目の内容は、TEC-0-1-24-3〜16において√(c2 - 4mk) を i√(4mk - c2) に書き換えるだけで、分かります。2014.11.25
18行目の式を全ての t に渡って実数たらしめる複素数対 A', B が存在する事と、その様な A', B に対しては19行目の等号を成立させる様な実数対 C, D が存在する事が、TEC-0-1-61で証明されています。2014.11.25,26
19行目の式が表す運動は、C e-μt を振幅とする単振動みたいな物です。
振幅が変化すれば単振動ではないので、「みたいな物」を付けました。2014.11.26
21行目では、(一般解) = (自由一般解) + (特殊解) である事を使って解く方針が、宣言されています。
自由一般解とは、外力が存在しない場合の一般解の事です。
x1, x2 を、CAN-1-1-12-29の微分方程式の任意の2つの解とすると、
d2x1/dt2 + (ω0)2x1 = f cos(ωt)
d2x2/dt2 + (ω0)2x2 = f cos(ωt)
これらの式に辺々引き算を施すと、
d2(x1 - x2)/dt2 + (ω0)2(x1 - x2) = 0
従って、x1 - x2 は、外力が存在しない場合の解、です。
つまり、x1 = x2 + (外力が存在しない場合の解) です。
この事は、外力が存在する場合の任意の解が任意の1つの特殊解に外力が存在しない場合の解を足して作れる事、を意味します。
この事と、自由一般解の中には外力が存在しない場合の解は全て含まれている事から、外力が存在する場合の解は全て、
(外力が存在する場合の任意の1つの特殊解) + (自由一般解)
の中に含まれているはずである事、が分かります。
標語的に言うと、(1つ見付けた) = (全部解けた) です。
上記の示し方から分かる様に、どんな方程式でも、というわけではありませんが、この方法で一般解を求める事が出来る方程式は結構たくさんあります。
電磁気学正典で解説されているマクスウェル方程式に対しても、この方法は使えます。
(求めたい関数に線形演算子を作用させた結果) = (外力)
という形の方程式に対しては常に、この方法が使えます。
ただし力学以外では、外力という言葉の代わりに、外場やsource(源泉)という言葉が使われます。
演算子 D が線形であるとは、
D[kx] = kD[x]
D[x1 + x2] = D[x1] + D[x2]
という性質を持っている事を言います。(kは任意のスカラー)
そういう場合、
D[x1] - D[x2] = D[x1] + (-1)D[x2] = D[x1] + D[(-1)x2] = D[x1 + (-1)x2] = D[x1 - x2]
だから、
D[x1] = (外力)
D[x2] = (外力)
ならば、辺々引き算する事によって、
D[x1] - D[x2] = 0
∴D[x1 - x2] = 0
つまり、x1 - x2 は外力が存在しない場合の解だ、と分かります。2014.11.30;2014.12.01,02,03
22行目の等号の成立は、x = A cos(ωt) をCAN-1-1-12-29の微分方程式に代入する事によって、分かります。2014.11.30
23行目に書かれている
ω≠ω0
という条件は、23行目の左の式の分母をゼロにしない(Aが存在する)為に必要であり、23〜30行目の全体に掛かっています。2014.11.30;2014.12.03
24行目には、CAN-1-1-12-18の関数
A sin(ω0t + B)
を加えろ、と書かれているのに、TEC-0-1-25-25,26で加えられているのは、
A' cos(ω0t + B')
です。
これは、以下の理由に、よります。
Aという文字を既にTEC-0-1-25-22,23で使ってしまったので、文字を変えてA'を用いました。
そうしないと、CAN-1-1-12-18のAは任意でありTEC-0-1-25-22,23のAとは独立に選べる、という事情が歪められてしまうからです。
また、
sin(ω0t + B)
= cos[π/2 - (ω0t + B)]
= cos[-(ω0t + B - π/2)]
= cos(ω0t + B - π/2)
だから、
B' = B - π/2
と書いて、
sin(ω0t + B) = cos(ω0t + B')
という書き換えを、しておきました。2014.12.03
28,29行目の等号の成立は、三角関数の加法定理を使って、
cos(ω0t + B') + cos(ωt)
= cos{[(ω0 + ω)t/2 + B'/2] + [(ω0 - ω)t/2 + B'/2]}
+ cos{[(ω0 + ω)t/2 + B'/2] - [(ω0 - ω)t/2 + B'/2]}
= cos[(ω0 + ω)t/2 + B'/2]cos[(ω0 - ω)t/2 + B'/2] - sin[(ω0 + ω)t/2 + B'/2]sin[(ω0 - ω)t/2 + B'/2]
+ cos[(ω0 + ω)t/2 + B'/2]cos[(ω0 - ω)t/2 + B'/2] + sin[(ω0 + ω)t/2 + B'/2]sin[(ω0 - ω)t/2 + B'/2]
= 2cos[(ω0 + ω)t/2 + B'/2]cos[(ω0 - ω)t/2 + B'/2]
という風に計算する事によって、分かります。2014.11.30
ω0≒ωの場合には、cos[(ω0 - ω)t/2 + B'/2] の時間変化は非常にユックリなので、28,29行目の式を、振幅が
{2f/[(ω0)2 - ω2]}cos[(ω0 - ω)t/2 + B'/2]
である様な単振動みたいな物を表す、と解釈できます。
30行目に書かれている様に、これは高校物理で習った「うなり」に他なりません。2014.11.30;2014.12.03
【SEOテキスト】03.10.5宇田雄一c2-4mk<0の場合[(d/dt+c/2m)2+(k/m-c2/4m2)2]x=0∴[(d/dt+μ)2+ω2]x=0,μ=c/(2m),ω=√k/m-c2/4m2∴(d/dt+μ+iω)(d/dt+μ-iω)x=0∴(d/dt+μ-iω)x=Aexp[-(μ+iω)t]∴exp[(μ-iω)t][dx/dt+(μ-iω)x]=Aexp(-2iωt)∴d/dt[x・exp[(μ-iω)t]]=Aexp(-2iωt)∴x・exp[(μ-iω)t]=A/-2iωexp(-2iωt)+B∴x=A'exp[-(μ+iω)t]+Bexp[-(μ-iω)t]=e-μt[A'e-iωt+Beiωt],A',Bは複素数,=Ce-μt sin(ωt+D),C,Dは実数CAN-1-1-12-25〜29(一般解)=(自由一般解)+(特解)特殊解をAcosωtとすると、-ω2A+(ω0)2A=f∴A=f/[(ω0)2-ω2]・・・・・・ω≠ω0の場合これにCAN-1-1-12-18を加えて、一般解は、x=A'cos(ω0t+B')+f/(ω0)2-ω2 cosωt(ω≠ω0)特にA'=f/[(ω0)2-ω2]の場合には、x=2f/(ω0)2-ω2 cos(ω0+ω/2 t+B'/2)cos(ω0-ω/2 t+B'/2)この式は、さらにω0≒ωの場合は「うなり」を表す。