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TEC-0-1-25
【補足説明欄】
2〜4行目の内容の根拠は、実定数θ,φを使って、
A' = |A'|exp(iθ)
B = |B|exp(iφ)
と置いて、
A' e-iωt = |A'|exp[i(θ-ωt)] = |A'|[cos(θ-ωt) + i sin(θ-ωt)]
B eiωt = |B|exp[i(φ+ωt)] = |B|[cos(φ+ωt) + i sin(φ+ωt)]
と書いてみれば、分かります。2014.11.25,26
14〜17行目の内容の根拠は、以下です。
A' e-iωt + B eiωt が常時実数に成るためには、A' e-iωt が実軸に重なった瞬間には B eiωt も実軸に重なっている事、が必要です。
そうでなければ、その瞬間には、
(A' e-iωt + B eiωt)の虚部 = B eiωt の虚部 ≠ 0
と成ってしまうからです。
さて、A' e-iωt が実軸に重なった瞬間に B eiωt も実軸に重なっているならば、その瞬間を基準に考える事によって、あらゆる時刻で A' e-iωt が実軸となす角は B eiωt が実軸となす角に等しい事、が分かります。
θ - ωt = -(φ + ωt)
従って、A' e-iωt が虚軸に重なるのと B eiωt が虚軸に重なるのも、同時です。
この瞬間には
A' e-iωt = |A'|i
B eiωt = -|B|i
または
A' e-iωt = -|A'|i
B eiωt = |B|i
だから、
(A' e-iωt + B eiωt)の虚部がゼロに成るためには、 |A'| = |B| である事が必要です。
実軸と為す角も長さも両方とも等しいので、A' e-iωt と B eiωt は実軸に関して線対称だ、と分かります。
逆に A' e-iωt と B eiωt が実軸に関して線対称ならば A' e-iωt + B eiωt が実数に成る事は、複素数の足し算が複素平面内のベクトルの足し算で表される事から、明らかです。2014.11.25,26
18〜21行目の計算の結果が、TEC-0-1-25-19の等号の成立根拠です。
C = 2|A'|
D = π/2 - θ
である事、が分かります。2014.11.25,26
【SEOテキスト】宇田雄一06.1.14,TEC-0-1-25-19,A'e-iωtとBeiωtは共に、複素平面内を角速度-ωおよびωで回転する、長さ一定のベクトルである,Beiωt,ω,ω,A'e-iωt,したがって、A'e-iωt+Beiωtが全てのtに渡って常に実数となるのは、A'e-iωtとBeiωtが互いに実軸に関して線対称の関係を保つ場合に限られる。この場合、A'e-iωt+Beiωt=2Re(A'e-iωt)=2|A'|cos(θ-ωt)=2|A'|sin[π/2-(θ-ωt)]=2|A'|sin(ωt+π/2-θ)ただし、A'=|A'|eiθ,θ∈Rとした。