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CAN-4-1-5
CAN-4-1-6
CAN-4-1-8
TEC-0-4-17
COM-4-10
3～7 行目の定義を精密主義的に書くと、次のように成る。
『∀ x ∈ R n ；∀ y ∈ R n ；∀ t ∈ R ；∀ j ；y j ＝∂n＋j L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t )
という条件によって、 f ：R 2 n＋1 → R n を定義する。』
ただし、第 6 行目の右辺を f j ( q ( t ) ；p ( t ) ；t ) とした。
この f を使って、 9～11 行目の式を精密主義的に書き直すと、次のように成る。
『∀ x ∈ R n ；∀ y ∈ R n ；∀ t ∈ R ；
H ( x ；y ；t ) ≡ y j f j ( x ；y ；t ) － L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t ) 』
ただし、 j についての和を表す∑記号を省略したが、j については和を取らなくてはいけない。
要は、 x ＝ q ( t ) ，y ＝p ( t ) である必要は全く無い、という事だ。
また、∂n＋j L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t ) が何を表すのか、についても、 TEC-0-2-1 のページ下方を参考に、気をつけて下さい。
∂n＋j は、 L ：R 2 n＋1 → R を∂n＋j L ：R 2 n＋1 → R に写す写像です。
∂n＋j L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t ) とは、[∂n＋j L ] ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t ) の事です。
∂n＋j [ L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t ) ] という風に読まないで下さい。2007.8.25
念のために補足説明すると、
x ∈R n と z ∈R n と t ∈R を独立変数として、偏微分：
(∂／∂z j ) L ( x ；z ；t )
を実行した後で、その結果に
z ＝ f ( x ；y ；t )
を代入したものが
∂n＋j L ( x ；f ( x ；y ；t ) ；t )
だ、と考える事が出来ます。2007.8.26
TEC-0-2-1
【SEOテキスト】宇田雄一,05.5.4,§2-1.ハミルトンの運動方程式,[1]ハミルトニアン,①定義,まず、,pj(t)≡∂L(q(t);q(t);t)/∂qj(t);j=1,・・・,n,をq(t)について解いた結果を,qj(t)=qj(q(t);p(t);t);j=1,・・・,n,とする。(CAN-4-1-5-12～6-29参照),これを使ってH:R2n+1→Rを次式で定義する。,H(q(t);p(t);t)≡,n,∑,j=1,pj(t)qj(q(t);p(t);t)-L(q(t);q(q(t);p(t);t);t),このHをハミルトニアンと呼ぶ。,②エネルギー(CAN-4-1-8-11～14参照),ri(q(t);t)=ri(q(t)),U(q(t);q(t);t)=V(q(t);t),の場合、,H(q(t);p(t);t)=T(q(t);q(q(t);p(t);t);t)+V(q(t);t),[例1]N=1,k=0,n=3;r1j(q(t))=qj(t),V(q(t);t)=V(|r1(q(t))|)=V(√,ql(t)ql(t)),の場合、,T(q(t);q(q(t);p(t);t);t)=pl(t)pl(t)/(2m1),H(q(t);p(t);t)=pl(t)pl(t)/(2m1)+V(√,ql(t)ql(t)),[例2]N=1,k=0,n=3,r11(q(t))=q1(t)sinq2(t)cosq3(t),r12(q(t))=q1(t)sinq2(t)sinq3(t),r13(q(t))=q1(t)cosq2(t),V(q(t);t)=V(|r1(q(t))|)=V(q1(t))の場合、,T(q(t);q(q(t);p(t);t);t)=H(q(t);p(t);t)-V(q1(t))=1/2m1,{[p1(t)]2+[p3(t)/,q1(t)sinq2(t)]2+[p2(t)/q1(t)]2}