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CAN-1-1-16
問題32
【補足説明欄】
1～16行目の記事は、TEC-0-1-40-27～30の記事の続きです。2016.05.08
1～16行目では、
を
と略記し、CAN-1-1-15-7の Fi(t) を Fi と略記し、CAN-1-1-15-8の Fik(t) を Fik と略記し、CAN-1-1-16-2～4の Uik を使った Uik(ri(t), rk(t)) を Uik と略記し、CAN-1-1-16-6の Vi を使った Vi(ri(t)) を Vi と略記し、CAN-1-1-16-6の fi を使った fi(ri(t), dri(t)/dt, t) を fi と略記しています。2016.05.08,09,161,2行目の等号の成立根拠は、CAN-1-1-15-5,6の式と、CAN-1-1-16-14,15の式です。2016.05.08
3～14行目では、TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(13)で定義されている ∇i ではなく
i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi) を、∇i と書いています。
ただし、ri = xii + yij + zik だとします。2016.05.16,17,24
3,4行目の内容がTEC-0-1-40-29,30の後半の項に由来する事から分かる様に、
TEC-0-1-41-3～10の (dri/dt)・∇i・・・ という部分は、
(dri/dt)・(∇i・・・) という意味です。
しかし、TEC-0-1-40補足説明欄赤枠内(28)の事情があるので、
TEC-0-1-41-3～10の (dri/dt)・∇i・・・ という部分を
[(dri/dt)・∇i]・・・ という意味だと解釈しても、結果に違いは出ません。
TEC-0-1-41-3～10で私が、(dri/dt)・(∇i・・・) なのか [(dri/dt)・∇i]・・・ なのか、どちらなのか分からない書き方をしているのは、そのためです。2016.05.24
5,6行目の等号の成立根拠は、
∇i ≡ i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi), ri = xii + yij + zik
である時には、
∇iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) = ∇iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ・・・ (1)
であり、かつ、
∇iΣj=1nVj(rj) = ∇i[Vi(ri)] ・・・ (2)
である事、およびCOM-1-16補足説明欄赤枠内(3)です。
式(1)の成立根拠は以下です。
i = j or i = k でなければ ∇i[Ujk(rj, rk)] = 0 だし、
Σj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) の中に Uii(ri, ri) という項は含まれていないから、
∇iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk)
= Σj=1nΣk≠j∇i[Ujk(rj, rk)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
= Σk≠i∇i[Uik(ri, rk)] ・・・ j = i の項
+ Σj≠i∇i[Uji(rj, ri)] ・・・ k = i の項
= Σj≠i∇i[Uij(ri, rj)] + Σj≠i∇i[Uji(rj, ri)]
= Σj≠i{∇i[Uij(ri, rj)] + ∇i[Uji(rj, ri)]}
= Σj≠i∇i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
= ∇iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
式(2)の成立根拠は以下です。
i = j でなければ ∇i[Vj(rj)] = 0 だから、
∇iΣj=1nVj(rj)
= Σj=1n∇i[Vj(rj)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
= ∇i[Vi(ri)]
(1)(2)を使うと、
∇iΣj=1n[(1/2)Σk≠jUjk(rj, rk) + Vj(rj)]
= ∇i[(1/2)Σj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) + Σj=1nVj(rj)]
= (1/2)∇iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) + ∇iΣj=1nVj(rj) ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3)
= (1/2)∇iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] + ∇i[Vi(ri)] ∵(1)(2)
だと分かります。2016.05.08,16,17,21,24
9行目の縦等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-3の式です。2016.05.08,17
15,16行目の等号の成立根拠は、
∇i ≡ i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi), ri = xii + yij + zik
である時には、
Fi(t) + ∇i[Vi(ri)]
= Fi(ri, dri/dt, t) + ∇i[Vi(ri)] ∵CAN-1-1-15-7
= fi(ri, dri/dt, t) ∵CAN-1-1-16-6の補足説明の(3)
であり、かつ、
Fij(t) + ∇i[Uij(ri, rj)]
= Fij(ri, rj, dri/dt, drj/dt, t) + ∇i[Uij(ri, rj)] ∵CAN-1-1-15-8
= 0 ∵CAN-1-1-16-2の補足説明の(1)
である事です。2016.05.08,16,17,21,24
1～16行目の内容は、実質的には、
∇i ≡ i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi)
としての、
= Σi=1n (dri/dt)・[Fi(t) + Σj≠iFij(t)]
+ Σi=1n (dri/dt)・{∇i[U(r1, ・・・, rn)]}
= Σi=1n (dri/dt)・{Fi(t) + Σj≠iFij(t) + ∇i[U(r1, ・・・, rn)]}
= Σi=1n (dri/dt)・fi(ri, dri/dt, t)
∵ Fi(t) + Σj≠iFij(t) + ∇i[U(r1, ・・・, rn)] = fi(ri, dri/dt, t)
∵ Fi(t) + Σj≠iFij(t) = -∇i[U(r1, ・・・, rn)] + fi(ri, dri/dt, t) ・・・ CAN-1-1-16-2～7の補足説明の(1)
という計算と同じです。2016.05.09,18,21,24
18,19行目の左の等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-21,22の左の式です。2019.06.19,20
18,19行目の右の等号の成立根拠は、TEC-0-1-40-2～9の内容です。2019.06.19
22,23行目の等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-26の式です。2019.06.19
24,25行目の左の等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-21,22の右の式です。2019.06.19
24,25行目の右の等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-21,22の左の式です。2019.06.19
26,27行目の左の式の成立根拠は、22～25行目の式の最初辺と最後辺が等しい事です。2019.06.19
26,27行目の右の式の成立根拠は、24,25行目の右の等号の成立です。2019.06.19
【SEOテキスト】03.12.28宇田雄一=n∑i=1 ri・(Fi+∑j∈{1,・・・,n}-{i}Fij)+n∑i=1 ri・∇i n∑j=1[1/2∑k∈{1,・・・,n}-{i}Ujk+Vj]=n∑i=1 ri・(Fi+∑j∈{1,・・・,n}-{i}Fij)+1/2 n∑i=1 ri・∇i∑j∈{1,・・・,n}-{i}(Uij+Uji),=2Uij,+n∑i=1 ri・∇iVi=n∑i=1 ri・(Fi+∇iVi)+n∑i=1 ri・∑j∈{1,・・・,n}-{i}(Fij+∇iUij)=n∑i=1 ri・fi[問題35]CAN-1-1-16-24,25を導出せよ。答:Md2/dt2 rc=n∑i=1 mi ri=n∑i=1 Fi∵問題32[問題36]CAN-1-1-16-28,29を導出せよ。答:n∑i=1 mi r'i=n∑i=1 mi ri-n∑i=1mi rc=n∑i=1 mi ri-M rc=0∴n∑i=1 mi r'i=0,n∑i=1 mi ri=M rc