TEC-0-1-41
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TEC-0-1-41 初等力学正典

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 CAN-1-1-16 

 問題32 














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【補足説明欄】

1〜16行目の記事は、TEC-0-1-40-27〜30の記事の続きです。2016.05.08

1〜16行目では、と略記し、CAN-1-1-15-7の Fi(t) を Fi と略記し、CAN-1-1-15-8の Fik(t) を Fik と略記し、CAN-1-1-16-2〜4の Uik を使った Uik(ri(t), rk(t)) を Uik と略記し、CAN-1-1-16-6の Vi を使った Vi(ri(t)) を Vi と略記し、CAN-1-1-16-6の fi を使った fi(ri(t), dri(t)/dt, t) を fi と略記しています。2016.05.08,09,16

3〜14行目では、TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(13)で定義されている i ではなく
i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi) を、i と書いています。
ただし、ri = xii + yij + zik だとします。2016.05.16,17,24

1,2行目の等号の成立根拠は、CAN-1-1-15-5,6の式と、CAN-1-1-16-14,15の式です。2016.05.08

3,4行目の内容がTEC-0-1-40-29,30の後半の項に由来する事から分かる様に、
TEC-0-1-41-3〜10の (dri/dt)・i・・・ という部分は、
(dri/dt)・(i・・・) という意味です。
しかし、TEC-0-1-40補足説明欄赤枠内(28)の事情があるので、
TEC-0-1-41-3〜10の (dri/dt)・i・・・ という部分を
[(dri/dt)・i]・・・ という意味だと解釈しても、結果に違いは出ません。
TEC-0-1-41-3〜10で私が、(dri/dt)・(i・・・) なのか [(dri/dt)・i]・・・ なのか、どちらなのか分からない書き方をしているのは、そのためです。2016.05.24

5,6行目の等号の成立根拠は、
ii(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi), ri = xii + yij + zik
である時には、
iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) = iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ・・・ (1)
であり、かつ、
iΣj=1nVj(rj) = i[Vi(ri)] ・・・ (2)
である事、およびCOM-1-16補足説明欄赤枠内(3)です。
式(1)の成立根拠は以下です。
i = j or i = k でなければ i[Ujk(rj, rk)] = 0 だし、
Σj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) の中に Uii(ri, ri) という項は含まれていないから、
iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk)
 = Σj=1nΣk≠ji[Ujk(rj, rk)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
 = Σk≠ii[Uik(ri, rk)] ・・・ j = i の項
   + Σj≠ii[Uji(rj, ri)] ・・・ k = i の項
 = Σj≠ii[Uij(ri, rj)] + Σj≠ii[Uji(rj, ri)]
 = Σj≠i{i[Uij(ri, rj)] + i[Uji(rj, ri)]}
 = Σj≠ii[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
 = iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
式(2)の成立根拠は以下です。
i = j でなければ i[Vj(rj)] = 0 だから、
iΣj=1nVj(rj)
 = Σj=1ni[Vj(rj)] ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3a)
 = i[Vi(ri)]
(1)(2)を使うと、
iΣj=1n[(1/2)Σk≠jUjk(rj, rk) + Vj(rj)]
 = i[(1/2)Σj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) + Σj=1nVj(rj)]
 = (1/2)iΣj=1nΣk≠jUjk(rj, rk) + iΣj=1nVj(rj) ∵COM-1-16補足説明欄赤枠内(3)
 = (1/2)iΣj≠i[Uij(ri, rj) + Uji(rj, ri)] + i[Vi(ri)] ∵(1)(2)
だと分かります。2016.05.08,16,17,21,24

9行目の縦等号の成立根拠は、CAN-1-1-16-3の式です。2016.05.08,17

15,16行目の等号の成立根拠は、
ii(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi), ri = xii + yij + zik
である時には、
Fi(t) + i[Vi(ri)]
 = Fi(ri, dri/dt, t) + i[Vi(ri)] ∵CAN-1-1-15-7
 = fi(ri, dri/dt, t) ∵CAN-1-1-16-6の補足説明の(3)
であり、かつ、
Fij(t) + i[Uij(ri, rj)]
 = Fij(ri, rj, dri/dt, drj/dt, t) + i[Uij(ri, rj)] ∵CAN-1-1-15-8
 = 0 ∵CAN-1-1-16-2の補足説明の(1)
である事です。2016.05.08,16,17,21,24

1〜16行目の内容は、実質的には、
ii(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi)
としての、
 = Σi=1n (dri/dt)・[Fi(t) + Σj≠iFij(t)]
   + Σi=1n (dri/dt)・{i[U(r1, ・・・, rn)]}
 = Σi=1n (dri/dt)・{Fi(t) + Σj≠iFij(t) + i[U(r1, ・・・, rn)]}
 = Σi=1n (dri/dt)・fi(ri, dri/dt, t)
Fi(t) + Σj≠iFij(t) + i[U(r1, ・・・, rn)] = fi(ri, dri/dt, t)
Fi(t) + Σj≠iFij(t) = -i[U(r1, ・・・, rn)] + fi(ri, dri/dt, t) ・・・ CAN-1-1-16-2〜7の補足説明の(1)
という計算と同じです。2016.05.09,18,21,24


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【SEOテキスト】03.12.28宇田雄一=n琶=1 ri・(Fi+破∈{1,・・・,n}-{i}Fij)+n琶=1 ri・∇i n破=1[1/2婆∈{1,・・・,n}-{i}Ujk+Vj]=n琶=1 ri・(Fi+破∈{1,・・・,n}-{i}Fij)+1/2 n琶=1 ri・∇i破∈{1,・・・,n}-{i}(Uij+Uji),=2Uij,+n琶=1 ri・∇iVi=n琶=1 ri・(Fi+∇iVi)+n琶=1 ri・破∈{1,・・・,n}-{i}(Fij+∇iUij)=n琶=1 ri・fi[問題35]CAN-1-1-16-24,25を導出せよ。答:Md2/dt2 rc=n琶=1 mi ri=n琶=1 Fi∵問題32[問題36]CAN-1-1-16-28,29を導出せよ。答:n琶=1 mi r'i=n琶=1 mi ri-n琶=1mi rc=n琶=1 mi ri-M rc=0∴n琶=1 mi r'i=0,n琶=1 mi ri=M rc