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目次
CAN-1-1-15
CAN-1-1-16
【補足説明欄】
2,3行目では、ri(t) を ri と略記し、
を
と略記しています。2016.05.13,144～9行目では、CAN-1-1-15-7の Fi(t) を Fi と略記し、CAN-1-1-15-8の Fik(t) を Fik と略記しています。2016.05.09,15
4,5行目の等号の成立根拠は、CAN-1-1-15-5,6の式です。2016.02.11
6,7行目の等号の成立根拠は、以下です。
※の成立は、左辺も右辺も「Fij を第 i 行第 j 列に持つ行列の対角成分以外の全ての成分を足せ」という式に成っている事、から分かります。2016.02.11,13;2016.03.07;2019.06.03
9,15行目の 0 は誤りです。
正しくは 0 です。
つまり、数字のゼロではなくゼロベクトルを書く必要がありました。2016.02.13;2016.03.07
8行目の縦等号の成立根拠は、Fji(t) = -Fij(t) である事です。
Fji(t) = -Fij(t) の成立根拠は、CAN-1-1-15-16～18への補足説明に書かれています。2016.02.11;2016.05.09,15
12～24行目では、ri(t) を ri と略記し、
を
と略記し、をと略記しています。2016.05.13,1414,15行目の等号の成立根拠は、積の微分法です。2016.05.15
14,15行目の波線部分がゼロベクトルに成る事は、平行なベクトル同士の外積はゼロベクトルである事、および dri(t)/dt と midri(t)/dt が平行である事、から分かります。2016.02.13;2016.03.07;2016.05.15
16～24行目では、CAN-1-1-15-7の Fi(t) を Fi と略記し、CAN-1-1-15-8の Fik(t) を Fik と略記しています。2016.05.09,15
16,17行目の等号の成立根拠は、CAN-1-1-15-5,6の式です。2016.02.13
20行目の縦等号の成立根拠は、6,7行目の等号の成立根拠と同様です。
ただし、6,7行目の等号と違って、20行目の縦等号では、ri×Fij というベクトルを第 i 行第 j 列に持つ行列、を考えます。2016.02.13,18;2016.03.07;2016.05.15;2019.06.03
23行目の縦等号の成立根拠は、Fji(t) = -Fij(t) である事です。
Fji(t) = -Fij(t) の成立根拠は、CAN-1-1-15-16～18への補足説明に書かれています。2016.02.13;2016.05.09,13,15
24行目の等号の成立
[ri(t) - rj(t)]×Fij(t) = 0
の根拠は、CAN-1-1-15-24～26への補足説明に書かれています。2016.02.13;2016.05.09,13,15
27～30行目では、
をと略記し、をと略記しています。27～30行目では、U(r1(t), ・・・, rn(t)) を U と略記しています。
U はCAN-1-1-16-14,15で定義されている関数です。2016.05.18,24;2019.06.12
29,30行目の (dri/dt)・∇iU は、
(dri/dt)・{[i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi)][U(r1, ・・・, rn)]}
を略記した物です。
ただし ri = xii + yij + zik とします。2016.05.08,09,14,16,18,20,24;2019.06.12
29,30行目の等号の成立根拠は、
(d/dt)|dri/dt|2
= (d/dt)[(dri/dt)・(dri/dt)]
= [(d/dt)(dri/dt)]・(dri/dt) + (dri/dt)・[(d/dt)(dri/dt)] ∵積の微分法
= 2[(d/dt)(dri/dt)]・(dri/dt)
= 2(d2ri/dt2)・(dri/dt)
である事と、
(d/dt)[U(r1, ・・・, rn)]
= Σi=1n { (dxi/dt)[∂U(r1, ・・・, rn)/∂xi] + (dyi/dt)[∂U(r1, ・・・, rn)/∂yi] + (dzi/dt)[∂U(r1, ・・・, rn)/∂zi] }
= Σi=1n [(dxi/dt)i + (dyi/dt)j + (dzi/dt)k]・{[∂U(r1, ・・・, rn)/∂xi]i + [∂U(r1, ・・・, rn)/∂yi]j + [∂U(r1, ・・・, rn)/∂zi]k}
= Σi=1n (dri/dt)・{[i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi)][U(r1, ・・・, rn)]} ∵下の赤枠内の(26)
である事です。(ri = xii + yij + zik) //2016.05.08,15,16,18,20,24;2019.06.12
| 以下においては、「関数」と「関数の値」を区別します。(CAN-1-1-15-7,8の補足説明) f, g を関数(値が実数や複素数である様な関数)とするとき、f + g は、 (f + g)(x) = f(x) + g(x) ・・・(1) つまり、x での値が f(x) + g(x) である事、によって定義される関数です。 さらに、c を実数や複素数とするとき、cf は、 (cf)(x) = c[f(x)] ・・・(2) つまり、x での値が c[f(x)] である事、によって定義される関数です。 (cf)(x) と c[f(x)] が違わないので、括弧を省略して cf(x) という書き方も用いられます。 cf(x) ≡ (cf)(x) = c[f(x)] ・・・(2a) a, b を実数や複素数とするとき、af + bg は x での値が (af + bg)(x) = a[f(x)] + b[g(x)] ・・・(3) である事によって定義される関数だ、という事が以上の定義から分かります。 (af + bg)(x) = (af)(x) + (bg)(x) ∵(1) = a[f(x)] + b[g(x)] ∵(2) f, g がベクトル値関数(値がベクトルである様な関数)の場合にも、f + g, cf は、それぞれ、 (f + g)(x) = f(x) + g(x) ・・・(4) (cf)(x) = c[f(x)] ・・・(5) という条件によって定義されるベクトル値関数であり、この事から、 af + bg は (af + bg)(x) = a[f(x)] + b[g(x)] ・・・(6) という条件によって定義されるベクトル値関数だ、という事が分かります。 f(x) と g(x) がベクトルである事、に気を付けて下さい。 (cf)(x) と c[f(x)] が違わないので、括弧を省略して cf(x) という書き方も用いられます。 cf(x) ≡ (cf)(x) = c[f(x)] ・・・(5a) f を関数とし、v をベクトルとするとき、vf は、 (vf)(x) = [f(x)]v ・・・(7) によって定義されるベクトル値関数です。 (vf)(x) と v[f(x)] が違わないので、括弧を省略して vf(x) という書き方も用いられます。 vf(x) ≡ (vf)(x) = v[f(x)] ・・・(7a) f, g を関数とし、u, v をベクトルとするとき、uf + vg は x での値が (uf + vg)(x) = [f(x)]u + [g(x)]v ・・・(8) である事によって定義されるベクトル値関数だ、という事が以上の定義から分かります。 (uf + vg)(x) = (uf)(x) + (vg)(x) ∵(4) = [f(x)]u + [g(x)]v ∵(7) f, g, h を関数とし、i, j, k を CAN-1-1-1-11～16 の単位ベクトルとするとき、x での値が (if + jg + kh)(x) = [f(x)]i + [g(x)]j + [h(x)]k ・・・(9) である事によって定義されるベクトル値関数が if + jg + kh と書かれる事も、(8)と同様です。 f, g, h を関数とし、a, b, c を実数や複素数とするとき、af + bg + ch という関数を、 (ai + bj + ck)・(if + jg + kh) とも書く事にします。 (ai + bj + ck)・(if + jg + kh) ≡ af + bg + ch ・・・(10) これは、ベクトル同士の内積に倣っての事です。 ここまでの定義は、「f, g, h を演算子(関数を関数に写す写像)とする」「f, g を演算子(関数をベクトル値関数に写す写像)とする」「x を関数とする」という風に読み替えても、通用します。 その事を、以下に書きます。 F, G を演算子(関数を関数に写す写像)とし、a, b, c を実数や複素数とし、f を関数とするとき、 (F + G)(f) ≡ F(f) + G(f) ・・・(11) (cF)(f) ≡ c[F(f)] ・・・(12) (aF + bG)(f) = a[F(f)] + b[G(f)] ・・・(13) これらの式の右辺の F(f) と G(f) はいずれも関数である事、に気を付けて下さい。 (cF)(f) と c[F(f)] が違わないので、括弧を省略して cF(f) という書き方も用いられます。 cF(f) ≡ (cF)(f) = c[F(f)] ・・・(12a) F, G を演算子(関数をベクトル値関数に写す写像)とし、a, b, c を実数や複素数とし、f を関数とするとき、 (F + G)(f) ≡ F(f) + G(f) ・・・(14) (cF)(f) ≡ c[F(f)] ・・・(15) (aF + bG)(f) = a[F(f)] + b[G(f)] ・・・(16) これらの式の右辺の F(f) と G(f) はいずれもベクトル値関数である事、に気を付けて下さい。 (cF)(f) と c[F(f)] が違わないので、括弧を省略して cF(f) という書き方も用いられます。 cF(f) ≡ (cF)(f) = c[F(f)] ・・・(15a) F, G を演算子(関数を関数に写す写像)とし、u, v をベクトルとし、f を関数とするとき、 (uF)(f) ≡ u[F(f)] ・・・(17) (uF + vG)(f) = u[F(f)] + v[G(f)] ・・・(18) これらの式の右辺の F(f) と G(f) はいずれも関数である事、に気を付けて下さい。 (uF)(f) と u[F(f)] が違わないので、括弧を省略して uF(f) という書き方も用いられます。 uF(f) ≡ (uF)(f) = u[F(f)] ・・・(17a) F, G, H を演算子(関数を関数に写す写像)とし、f を関数とするとき、 (iF + jG + kH)(f) ≡ i[F(f)] + j[G(f)] + k[H(f)] ・・・(19) これらの式の右辺の F(f) と G(f) と H(f) はいずれも関数である事、に気を付けて下さい。 F, G, H を演算子(関数を関数に写す写像)とし、a, b, c を実数や複素数とするとき、aF + bG + cH という演算子を、 (ai + bj + ck)・(iF + jG + kH) とも書く事にします。 (ai + bj + ck)・(iF + jG + kH) ≡ aF + bG + cH ・・・(20) 関数の値を微分する演算子(TEC-0-1-43の補足説明欄の赤枠内)についても、以上と同様の記号法を定義しておきます。 [c(d/dx)][f(x)] ≡ c{(d/dx)[f(x)]} ・・・(21) → c(d/dx)[f(x)] と書いてもよい [(∂/∂x) + (∂/∂y)][f(x, y, ・・・)] ≡ (∂/∂x)[f(x, y, ・・・)] + (∂/∂y)[f(x, y, ・・・)] ・・・(22) [a(∂/∂x) + b(∂/∂y)][f(x, y, ・・・)] = a{(∂/∂x)[f(x, y, ・・・)]} + b{(∂/∂y)[f(x, y, ・・・)]} ・・・(23) [v(d/dx)][f(x)] ≡ {(d/dx)[f(x)]}v ・・・(24) [u(∂/∂x) + v(∂/∂y)]f(x, y, ・・・) = {(∂/∂x)[f(x, y, ・・・)]}u + {(∂/∂y)[f(x, y, ・・・)]}v ・・・(25) [i(∂/∂x) + j(∂/∂y) + k(∂/∂z)][f(x, y, z)] = {(∂/∂x)[f(x, y, z)]}i + {(∂/∂y)[f(x, y, z)]}j + {(∂/∂z)[f(x, y, z)]}k ・・・(26) (ai + bj + ck)・[i(∂/∂x) + j(∂/∂y) + k(∂/∂z)] ≡ a(∂/∂x) + b(∂/∂y) + c(∂/∂z) ・・・(27) (v・∇x)[f(x, ・・・)] = {(v1i + v2j + v3k)・[i(∂/∂x1) + j(∂/∂x2) + k(∂/∂x3)]}[f(x, ・・・)] = [v1(∂/∂x1) + v2(∂/∂x2) + v3(∂/∂x3)][f(x, ・・・)] ∵(27) = v1{(∂/∂x1)[f(x, ・・・)]} + v2{(∂/∂x2)[f(x, ・・・)]} + v3{(∂/∂x3)[f(x, ・・・)]} ∵(23) = (v1i + v2j + v3k)・({(∂/∂x1)[f(x, ・・・)]}i + {(∂/∂x2)[f(x, ・・・)]}j + {(∂/∂x3)[f(x, ・・・)]}k) = (v1i + v2j + v3k)・{[i(∂/∂x1) + j(∂/∂x2) + k(∂/∂x3)][f(x, ・・・)]} ∵(26) = v・{∇x[f(x, ・・・)]} ・・・(28) → v・∇x[f(x, ・・・)] と書いてもよい ただし、∇x は TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(16a)で定義されています。 以下では、TEC-0-1-43の補足説明欄の赤枠内の諸定義を採用します。 TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(5)(6)(7)で定義されている∂1, ∂2, ∂3 は、いずれも関数を関数に写す写像(演算子)だから、任意のベクトル v = ai + bj + ck と、任意の関数 f に対して、 (v・∇)(f) = [(ai + bj + ck)・(i∂1 + j∂2 + k∂3)](f) ∵TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(8) = (a∂1 + b∂2 + c∂3)(f) ∵(20) = a[∂1(f)] + b[∂2(f)] + c[∂3(f)] ∵(13) = (ai + bj + ck)・{i[∂1(f)] + j[∂2(f)] + k[∂3(f)]} ∵(10) = (ai + bj + ck)・[(i∂1 + j∂2 + k∂3)(f)] ∵(19) = v・[∇(f)] ∵TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(8) この結果を、出来るだけ括弧を省略して書くと、 (v・∇)f = v・(∇f) ・・・(29) したがって、この式の括弧も省略できます。 v・∇f ≡ (v・∇)f = v・(∇f) ・・・(30) さて、f(x) は v・∇の変域の元でも∇の変域の元でもないので、v・∇f(x) を v・∇[f(x)] と解釈する事は不可能です。 したがって v・∇f(x) は、v・[(∇f)(x)] と解釈されるか、または [(v・∇)f](x) と解釈されるか、[v・(∇f)](x) と解釈されるしかありません。 しかし、3つの解釈は差を生まないので、v・∇f(x) という書き方をしても、意味の曖昧さは生じません。 v・∇f(x) ≡ v・[(∇f)(x)] = [(v・∇)f](x) = [v・(∇f)](x) ・・・(31) 3つの解釈が差を生まない事の理由は、 [(v・∇)f](x) = [v・(∇f)](x) ∵(29) である事と、 v・[(∇f)(x)] = (ai + bj + ck)・{[(i∂1 + j∂2 + k∂3)f](x)} ∵TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(8) = (ai + bj + ck)・{[(i(∂1f) + j(∂2f) + k(∂3f)](x)} ∵(19) = (ai + bj + ck)・{[(∂1f)(x)]i + [(∂2f)(x)]j + [(∂3f)(x)]k} ∵(9) = a[(∂1f)(x)] + b[(∂2f)(x)] + c[(∂3f)(x)] = [a(∂1f) + b(∂2f) + c(∂3f)](x) ∵(3) = {(ai + bj + ck)・[i(∂1f) + j(∂2f) + k(∂3f)]}(x) ∵(10) = {(ai + bj + ck)・[(i∂1 + j∂2 + k∂3)f]}(x) ∵(19) = [v・(∇f)](x) ∵TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(8) ∴ v・[(∇f)(x)] = [v・(∇f)](x) である事です。 --- 以上と同様の理由によって、∇i の定義としてTEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(13)を採用すると、次の様に成ります。 (dri/dt)・∇iU ≡ [(dri/dt)・∇i]U = (dri/dt)・(∇iU) ・・・(32) (dri/dt)・∇iU(r1, ・・・, rn) ≡(dri/dt)・[(∇iU)(r1, ・・・, rn)] = {[(dri/dt)・∇i]U}(r1, ・・・, rn) = [(dri/dt)・(∇iU)](r1, ・・・, rn) ・・・(33) この事と (∇iU)(r1, ・・・, rn) = [i(∂/∂xi) + j(∂/∂yi) + k(∂/∂zi)][U(r1, ・・・, rn)] ∵ TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(14a) である事から、TEC-0-1-40-29,30の (dri/dt)・∇iU を、TEC-0-1-43補足説明欄赤枠内(13)で定義されている ∇i を使っての (dri/dt)・∇iU(r1, ・・・, rn) だ、と解釈しても結果に差は出ません。 (d/dt)U(r1(t), ・・・, rn(t)) = Σi=1n [dri(t)/dt]・[(∇iU)(r1(t), ・・・, rn(t))] ・・・(34) 2016.05.16,17,18,20;2019.06.11,12 |
【SEOテキスト】宇田雄一03.12.28[問題32]CAN-1-1-15-19,20を導出せよ。答:d/dt n∑i=1(mi d/dt ri)=n∑i=1 mi ri=n∑i=1(Fi+∑j∈{1,・・・,n}-{i}Fij)=n∑i=1 Fi+1/2 n∑i=1∑j∈{1,・・・,n}-{i}(Fij+Fji),=0,=n∑i=1 Fi[問題33]CAN-1-1-15-27,28を導出せよ。答:d/dt n∑i=1(ri×mi d/dt ri)=n∑i=1(ri×mi ri)+n∑i=1(ri×mi ri),→0,=n∑i=1[ri×(Fi+∑j∈{1,・・・,n}-{i}Fij)]=n∑i=1(ri×Fi)+n∑i=1∑j∈{1,・・・,n}-{i}(ri×Fij),=1/2 n∑i=1∑j∈{1,・・・,n}-{i}(ri×Fij+rj×Fji),=(ri-rj)×Fij=0[問題34]CAN-1-1-16-9～12を導出せよ。答:d/dt(n∑i=1 1/2 mi|ri|2+U)=n∑i=1 miri・ri+n∑i=1 ri・∇iU