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目次
CAN-1-1-2
COM-1-2
【補足説明欄】
このページの第1行目から第10行目までは、前ページの第23行目から第30行目までの記事の続きです。2010.08.30
TEC-0-1-2-27～30より、⊿s/ρ'=|eT(s+⊿s)-eT(s)|⊿s/|⊿r|だと言えます。
この式の両辺を⊿sで割って、|⊿s|=⊿sである事を使うと、第1, 2行目の式が成り立つ事が分かります。2010.08.14
第1, 2行目の式から第3, 4行目の式を導出する時には、⊿s→0で⊿s/|⊿r|→1と成る事を使いました。
⊿s→0で⊿s/|⊿r|→1と成る事については、TEC-0-1-1-29～TEC-0-1-2-13に説明があります。2010.08.14
第12, 13行目の最も右の等号の成立は、CAN-1-1-1-26, 27のeT=dr/dsより分かります。2010.09.06
第15, 16行目のv=veTの成立は、第12, 13行目のv=(ds/dt)eTと第15, 16行目のv=ds/dtより、分かります。2010.09.06
第17, 18行目の左から2番目の等号の成立は、 第15, 16行目のv=veTに積の微分法を適用すると分かります。2010.09.06
第19, 20行目の等号の成立理由は、第15, 16行目のv=ds/dtとCAN-1-1-1-28, 29のeN≡ρdeT/dsです。2010.09.06
第22行目には「CAN-1-1-2」とだけ書かれていますが、このページの第23行目から次ページの第1行目まではCAN-1-1-2-13, 14(CAN-1-1-2の第13行目と第14行目)についての説明です。
仮想的にrの値を固定してθの値だけ動かした時にrの先端が描く曲線(ここでは円)の中でPを通るもののPでの接線ベクトルがeθで、仮想的にθの値を固定してrの値だけ動かした時にrの先端が描く曲線(ここでは直線)の中でPを通るもののPでの接線ベクトルがerです。
だから、CAN-1-1-1-26, 27の式の考え方が使えて、このページの第23, 24行目の等号と第28, 29行目の等号が成り立つと分かります。
その理由は、CAN-1-1-1-26, 27の式でsの代わりにsの正定数倍を使っても結果は同じ向きのベクトルに成る事、および、任意のベクトルuに対して(1/|u|)uはuと同じ向きを持つ単位ベクトルである事、です。
仮想的にrの値を固定してθの値だけ動かす時にはrθがsに相当しますが、第28, 29行目の式では(1/r)sに相当するθで微分しています。
仮想的にθの値を固定してrの値だけ動かす時にはrがsに相当し、第23, 24行目の式ではsに相当するrで微分しています。
第28, 29行目の考え方は、まず∂r(r, θ)/∂θでeθの向きのベクトルを求め、その後、u=∂r(r, θ)/∂θの場合の(1/|u|)uを計算する事によってeθの向きの単位ベクトルすなわちeθを求める、という考え方です。
第23, 24行目では、s=rなので(1/|u|)uを計算する必要はありませんが、s=rなのかどうかを確認しなくても計算できる様に(1/|u|)uの形で立式しました。
ここで考えている2種類の曲線はどちらもPの経路ではないので、「CAN-1-1-1-26, 27の式が使えて」とは書かずに「CAN-1-1-1-26, 27の式の考え方が使えて」と書きました。
sの代わりにsの正定数倍を使う事に限定しなくても、CAN-1-1-1-26, 27の式でsをsの単調増加関数で置き換えた時に結果のベクトルの向きは変わりません。
s'をsの単調増加関数とすると、ds'/ds>0だからdr/ds'=(ds/ds')(dr/ds)=[1/(ds'/ds)](dr/ds)はdr/dsと同じ向きのベクトルです。
だから、第23, 24行目と第28, 29行目の立式の仕方は、任意の曲線座標で使えます。
rやθを時刻のごとく見なして速度ベクトルを求める事を想像すると、この計算法を直ぐに思い出せるでしょう。2010.08.29,30,31
第22行目以降の内容についての補足説明が、COM-1-2-10～13に、書かれています。2013.02.23
第25行目の等号と第30行目の等号の成立は、CAN-1-1-2-10, 11の式とz=0をCAN-1-1-1-11のr=xi+yj+zkに代入して使うと、分かります。2010.09.07
【SEOテキスト】宇田雄一03.7.22,1/ρ'=|eT(s+⊿s)-eT(s)/⊿s|・⊿s/|⊿r|∴1/ρ'=|deT(s)/ds|・1=|deT(s)/ds|(⊿s→0)=1/ρ,θ,ρ',ρ',⊿r∽eT(s+⊿s)-eT(s),eT(s+⊿s),eT(s),θ[問題4]CAN-1-1-2-2,3,4,5の等式を導出せよ。解:v=dr/dt=ds/dt・dr/ds=ds/dteT辺々、自分自身との内積をとると、v2=v・v=(ds/dt)2∴v=ds/dt,v=veT,α=dv/dt=dv/dteT+vdeT/dt=dv/dteT+v・ds/dt・deT/ds=dv/dteT+v2/ρeN,CAN-1-1-2,er=∂r(r,θ)/∂r/|∂r(r,θ)/∂r|=[(cosθ)i+(sinθ)j]/|(cosθ)i+(sinθ)j|=[(cosθ)i+(sinθ)j]/√(cosθ)2+(sinθ)2=(cosθ)i+(sinθ)j,eθ=∂r(r,θ)/∂θ/|∂r(r,θ)/∂θ|=[-r(sinθ)i+r(cosθ)j]/√(-rsinθ)2+(rcosθ)2