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13 ，14 行目の ∂ζ□(η( t ) ；t )／∂η□( t ) は、
第 j 行第 k 列が∂ζj (η( t ) ；t )／∂ηk ( t ) であるような行列を表しています。
19 行目の ∂H (η( t ) ；t )／∂η□( t ) は、
第 j 成分が ∂H (η( t ) ；t )／∂ηj ( t ) であるような列ベクトルを表しています。
18 ，20 ，21 行目の右辺の記号についても同様です。
17 ，19 ，20 ，21 行目の左辺は、その第 j 成分を第 j 成分に持つ列ベクトルを表しています。
13 ，14 行目の右肩に付けられた t は行列の転置を表します。
A を行列とするとき、 A ｔ は A の転置行列です。
つまり、 ( A ｔ ) ｊ ｋ ≡ A ｋ ｊ
【SEOテキスト】宇田雄一,05.5.10,§2-2.正準変換,[例6]ルジャンドル変換,[∀j∈{1,・・・,n};Pj=Xj(Q;q;t)]⇔[∀j∈{1,・・・,n};Qj=∂n+jF2(q;P;t)],F1(q;Q;t)=F2(q;X(Q;q;t);t)-QlXl(Q;q;t),とすると、変換:Pj=Xj(Q;q;t),pj=∂jF2(q;P;t)は,Pj=-∂n+jF1(q;Q;t),pj=∂jF1(q;Q;t)より得られると同時に、pj=∂jF2(q;P;t),Qj=∂n+jF2(q;P;t)からも得られる。,[3]シンプレクティックな方法,ηj(t)≡qj(t),ηn+j(t)≡pj(t);ζj(t)≡Qj(t),ζn+j(t)≡Pj(t),変換:ζ(t)=ζ(η(t);t)が狭義正準変換であるための必要十分条件は、シンプレクティク条件:[∂ζ□(η(t);t)/∂η□(t)]tJ[∂ζ□(η(t);t)/∂η□(t)]=J,[∂ζ□(η(t);t)/∂η□(t)]J[∂ζ□(η(t);t)/∂η□(t)]t=J,である。この条件が成り立つ場合には、,∃f;(ⅰ)and[∀η;(ⅱ)⇒(ⅲ)],(ⅰ)∀η,t;∂2n+1ζ(η(t);t)=J[∂f(ζ(η(t);t);t)/∂ζ□(η(t);t)],(ⅱ)∀t;η(t)=J[H(η(t);t)/∂η□(t)],(ⅲ)∀t;dζ(η(t);t)/dt=J∂[H'+f](ζ(η(t);t);t)/∂ζ□(η(t);t),ただし、H'(ζ(η(t);t);t)≡H(η(t);t)とする。,[4]ポアンカレの積分不変量,(q,p)←→(Q,P),η←→ζが正準変換ならば、,dQ1・・・dQndP1・・・dPn=dζ1・・・dζ2n=dη1・・・dη2n=dq1・・・dqndp1・・・dpn