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COM-3-13
補足説明をここに書く予定です
【SEOテキスト】04.11.29,§2.1,曲がった時空と非慣性系,[添字の上げ下げ],たとえばTμνρσ(x)が与えられているとき、Tμνρσ(x)≡gρλ(x)Tμνλσ(x),Tμνρσ(x)≡gνλ(x)Tμλρσ(x),という風に定義する。するとTμνρσがテンソルの成分ならばTμνρσやTμνρσもテンソルの成分となる。Tμνρσがテンソル密度の成分ならばTμνρσやTμνρσもテンソル密度の成分となる。,gμν=gμν=gμρgρν=gμρgρν=δμν,εμνρσ=gμλgντgραgσγελταγ=-(-detg□□)εμνρσ,gμνとgμνはテンソルの成分だがεμνρσはテンソル密度の共変成分である。,②共変微分,[定義],φ;ν≡∂νφ,Aμ;ν≡∂νAμ+ΓμνρAρ,Aμ;ν≡∂νAμ-ΓρμνAρ,Tμν;ρ≡∂ρTμν+ΓμρλTλν+ΓνρλTμλ,Tμν;ρ≡∂ρTμν-ΓλμρTλν-ΓλνρTμλ,Tμν;ρ≡∂ρTμν+ΓμρλTλν-ΓλνρTμλ,などなど。,[性質],スカラーやベクトルやテンソルの成分の共変微分はベクトルやテンソルの成分であり、共変微分を表す添字は共変添字としての性質を持つ。,(AμAν);ρ=Aμ;ρAν+AμAν;ρ,(TμνAρ);σ=Tμν;σAρ+TμνAρ;σ,(TμνAν);ρ=Tμν;ρAν+TμνAν;ρなどなど。,gμν;ρ=0,gμν;ρ=0,Aμ;ρ=gμνAν;ρ,Aμ;ρ=gμνAν;ρなど。,宇田雄一