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目次
CAN-1-1-3
【補足説明欄】
第1行目は、前ページの第24行目から第30行目までの式の続きです。
第5行目から第14行目までが第15,16行目の式の成立理由に成るのは、(something)の部分が⊿t→0で有限の区間内に収まっている場合のみです。
質点の軌道に成り得る様な曲線は、どんな曲線でも(something)の部分が⊿t→0で有限の区間内に収まっています。
第15行目の「掃過する面積」とは「rが時刻tからt+⊿tまでの間に掃過する面積」のことです。
(掃過する面積)/⊿t=(3角形の面積)/⊿t+(something)×⊿t ∵第11～14行目の式
=(1/2)|r×v|+(something)×⊿t ∵第6～8行目の式
→(1/2)|r×v| (⊿t→0)
という風に計算します。2010.10.11
因みに、等速円運動では(掃過する面積)=(3角形の面積)=(1/2)|r||v|⊿t, (something)=0です。2010.10.12
第21行目の左の等号の成立は、CAN-1-1-1-11のr=xi+yj+zkとCAN-1-1-1-6,7のv≡dr/dtおよびCAN-1-1-3-20のz=0を使うと、分かります。2010.10.12
第21行目の最右辺は、3次元ベクトル同士の外積の成分計算の処方です。
行列式の記号を使って書かれていますが、第1行目の成分が数ではなくベクトルなので、厳密には、これは行列式ではありません。
しかし、行列式だと思ってサラスの方法を適用すると、第23行目の式が出て来ます。2010.10.12
外積についての分配の法則と
i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×i=-k,j×k=i,k×j=-i,k×i=j,i×k=-j
を使って、
(xi+yj+0k)×[(dx/dt)i+(dy/dt)j+0k]
=x(dx/dt)i×i+x(dy/dt)i×j+x・0i×k+y(dx/dt)j×i+y(dy/dt)j×j+y・0j×k+0(dx/dt)k×i+0(dy/dt)k×j+0・0k×k
=x(dx/dt)0+x(dy/dt)k+x・0(-j)+y(dx/dt)(-k)+y(dy/dt)0+y・0i+0(dx/dt)j+0(dy/dt)(-i)+0・00
=x(dy/dt)k-y(dx/dt)k
という風に計算しても、第23行目の式を得る事が出来ます。2010.10.17,18
第24行目の左の等号の成立は、CAN-1-1-2-15,16の式と外積についての分配の法則を使えば、分かります。2010.10.16
第24行目の右の等号の成立は、er×er=0である事およびer×eθ=kである事より、分かります。
er×er=0と成るのは、同じベクトル同士の外積はゼロベクトルに成るからです。
er×eθ=kは、図形的に明らかですが、CAN-1-1-2-13,14に依拠して
er×eθ=[(cosθ)i+(sinθ)j]×[-(sinθ)i+(cosθ)j]
=-(cosθ)(sinθ)i×i+(cosθ)2i×j-(sinθ)2j×i+(sinθ)(cosθ)j×j
=(cosθ)2k-(sinθ)2(-k) ∵i×i=j×j=0,i×j=k,j×i=-k
=[(cosθ)2+(sinθ)2]k
=k ∵(cosθ)2+(sinθ)2=1
という風に計算しても、分かります。2010.10.16
第26行目から第30行目までの図は、v=ω×rである様なvとωとrの関係を、図示したものです。
ωを軸としOで接地しているコマをイメージすると分かり易いでしょう。
ただし、コマの軸の向きとコマの角速度ベクトルの向きは一般には異なるので、このイメージは正確ではありません。2010.10.18,19
第28行目の式の成立は、ωとrの間の角をθとした場合、外積の定義から言えます。
Pからωに下ろした垂線の長さは|r|sinθだから、v=|ω|・|r|sinθより、|ω|はその垂線の足を中心とする円運動の角速度である事が分かります。2010.10.18
【SEOテキスト】03.7.22宇田雄一+[(rφ+2rφ)sinθ+2rθφcosθ]eφ,CAN-1-1-3-17,18,v⊿t,O,r(t),θ,(3角形の面積)=(1/2)|v⊿t|・|r(t)|sinθ=(1/2)|r×v|⊿t,r(t+⊿t),O,r(t),(rが時刻tからt+⊿tまでの間に掃過する面積)=(上記3角形の面積)+(something)×(⊿t)2故にlim⊿t→0掃過する面積/⊿t=1/2|r×v|は近似式としてではなく正確な式として成り立つ。[問題7]CAN-1-1-3-21～24の等式を導出せよ。r×v=(xi+yj+0k)×(xi+yj+0k)=|ijk,xy0,xy0|=(xy-yx)k,r×v=rrer×er+r2θer×eθ=r2θk,CAN-1-1-3-25～29,|ω×r|=|ω|・|r|sinθ,ω,v=ω×r,P,O,θ,r