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TEC-0-5-22
COM-5-25
補足説明をここに書く予定です
【SEOテキスト】宇田雄一06.7.22,COM-5-25-22〜26,xがNjの固有値だとすると、Njはエルミートだから、xは実数であり、さらに、∃Ψ;|Ψ>≠0and Nj|Ψ>=x|Ψ>∴x<Ψ|Ψ>=<Ψ|aj†aj|Ψ>=|aj|Ψ>|2∴x≧0もし、Nj|Ψ>=x|Ψ>,|Ψ>≠0,0<x<1なるΨ,xが存在するならば、このΨ,xに対しては、Njaj|Ψ>=[Nj,aj]-|Ψ>+ajNj|Ψ>=(x-1)aj|Ψ>,|aj|Ψ>|2=<Ψ|aj†aj|Ψ>=x<Ψ|Ψ>≠0これはNjが負の固有値を持たないという事実に反するので、このようなΨ,xは存在しない。同様にして、Nj|Ψ>=x|Ψ>,|Ψ>≠0,1<x<2なるΨ,xが存在しない事を示せる。このやり方を続けて行くと、整数でない数はどれもNjの固有値には成り得ない、と分かる。さてaj|Ψ>=0,|Ψ>≠0なるΨは存在する。∵TEC-0-5-22-21〜24このΨに対しては、Nj|Ψ>=aj†aj|Ψ>=0だから、0はNjの固有値だ。Nj|Ψ>=n|Ψ>,<Ψ|Ψ>=1ならば、Njaj†|Ψ>=[Nj,aj†]-|Ψ>+aj†Nj|Ψ>=(n+1)aj†|Ψ>,|aj†|Ψ>|2=<Ψ|ajaj†|Ψ>=<Ψ|[aj,aj†]-|Ψ>+<Ψ|aj†aj|Ψ>=(n+1)<Ψ|Ψ>=n+1だから、|Ψ'>=(1/√n+1)aj†|Ψ>とすると、Nj|Ψ'>=(n+1)|Ψ'>,<Ψ'|Ψ'>=1従って非負整数は全てNjの固有値だ。