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CAN-5-1-2
CAN-5-1-3
第 27，28 行目について。
A†＝A ，A | u > ＝ a | u > とすると、
< u | A | u > ＝ a < u | u >
< u | A ＝< u | A† ＝ [ A | u > ]† ＝ [ a | u > ]† ＝ ( a の複素共役) < u |
< u | A | u > ＝ ( a の複素共役) < u | u >
∴ 0 ＝ < u | A | u > − < u | A | u > ＝ [ a − ( a の複素共役) ] < u | u >
∴ a ＝ ( a の複素共役)
だから、エルミート演算子の固有値は実数である。
【SEOテキスト】宇田雄一,05.11.23,CAN-5-1-2-14,15,線形エルミート演算子は実数に類似の概念である。エルミート共役が複素共役に類似の概念であり、複素共役しても変わらないのが実数だ、という事情が、エルミート共役しても変わらないのがエルミート演算子だ、という事情に類似しているわけだ。古典力学において実数と考えられていた物理量は、量子力学においては線形エルミート演算子と考えられる。CAN-5-1-3-3,F1,F2,・・・,Fnが可換とは、∀j,k;[Fj,Fk]-=0が成り立つ事を言う。ただし、[Fj,Fk]-≡FjFk-FkFj,CAN-5-1-3-5〜10,13,TをC上のベクトル空間V上の線形演算子とするとき、スカラーλ∈Cは、もしTv=λvであるような0でないベクトルv∈Vが存在するならば、Tの固有値と呼ばれ、そのようなvを、固有値λに属するTの固有ベクトルと呼ぶ。ゼロベクトルを固有ベクトルとは言わない。佐武一郎著「線形代数学」掌華房133ページ参照。規格直交条件からe(f1,f2,・・・,fn)≠0が言えるから、fjはFjの固有値である。f1,・・・,fn,f'1,・・・,f'nは任意だとされているが、fjとf'jはFjの固有値でなくてはいけない。一般にエルミート演算子の固有値は全て実数である。したがってf1,・・・,fn,f'1,・・・,f'nは全て少なくとも実数でなくてはいけない。