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[補足説明欄]
1行目のTはuの変化の周期つまりθの変化の周期です。
CAN-1-1-28-28,29では運動エネルギーをTと書きましたが、TEC-0-1-53のTは運動エネルギーではありません。2021.02.11
1,2行目の左の式の右辺の2倍が周期である事は、次の様にして分かります。
2∫u1u2 du/√f(u) = 2∫u1u2 du|dt/du| ∵ TEC-0-1-52-21,22
= ∫u1u2 du|dt/du| + ∫u1u2 du|dt/du|
= ∫u1u2 du|dt/du| + ∫u2u1 du(-|dt/du|)
= ∫u1u2 du(dt/du＞0の時のdt/du) + ∫u2u1 du(dt/du＜0の時のdt/du)
= (uがu1からu2まで増加する時間) + (uがu2からu1まで減少する時間)
= (uの変化の周期).
これをTと書く事にする、というのが、TEC-0-1-53-1,2の左の式です。2021.02.11
1,2行目の右の式はTEC-0-1-52-20の式です。
同じ式を再度書いたのは、3行目以降の式の中のTとuが何を意味するかを1,2行目で宣言しておきたかったからです。2021.02.11
3〜6行目のnは任意の整数です。2021.02.11
7〜13行目の図に描かれている様に、nT ＜ t ＜ (2n+1)T/2 では du/dt ＞ 0 であり、(2n+1)T/2 ＜ t ＜ (n + 1)T では du/dt ＜ 0 である様に時間軸の原点を選びました。2021.02.11
3,4行目では、uがu1からuまで増加するのに掛かる時間が t - nT である事に着目しています。
t - nT = ∫u1u du(dt/du) = ∫u1u du|dt/du| = ∫u1u du/√f(u).
2021.02.11
5,6行目では、uがu2からuまで減少するのに掛かる時間が t - (2n + 1)T/2 である事に着目しています。
t - (2n + 1)T/2 = ∫u2u du(dt/du) = ∫u2u du(-|dt/du|) = ∫uu2 du|dt/du| = ∫uu2 du/√f(u).
2021.02.11
15,16行目の左の式は、TEC-0-1-52-10,11の式に cosθ = u, (sinθ)2 = 1 - u2 を代入する事によって得られます。2021.02.11
15,16行目の右の式は、TEC-0-1-52-12,13の式に cosθ = u, (sinθ)2 = 1 - u2 を代入する事によって得られます。2021.02.11
17行目以降の(例1)はφが増加し続けるケースで、(例2)はφが増減を繰り返すケースで、(例3)は常に dφ/dt ≧ 0 だが周期的に dφ/dt = 0 に成るケースです。
単位球面とは半径が1の球面です。
半径が1cmでも1mでもなく半径が1の球面です。
単位ベクトルはベクトルではなく向きだと考えれば長さが1だと言わなくて済みましたが、単位球面ではどうすれば半径が1だという表現を使わなくて済むでしょうか。
数学には同値類という概念が有ります。
例えばベクトルを考える時に、向きも長さも同じ有向線分を同値だと定義して、互いに同値な関係に有る全ての有向線分の集合(こういう集合を同値類と呼ぶ)がベクトルなのであって個々の有向線分はベクトルではないと考えれば、2つの有向線分は向きと長さが同じでも位置が異なれば同じではないじゃないか、という反論を免れます。
同様に、中心が同じで半径が異なる全ての球面の集合(同値類)を単位球面だと定義すれば、半径が1だと言わずに済みます。
中心が同じな全ての球面の集合は空間全体じゃないか、という批判は当たりません。
なぜなら、中心が同じな全ての球面の集合の要素(元)は球面であって点ではないからです。
空間全体という集合の要素(元)は点です。2021.02.11,15;2021.06.23
【SEOテキスト】宇田雄一04.2.11,T/2≡∫u2 u1 dξ/√f(ξ),u≡cosθ,nT≦t≦2n+1 /2 T⇒t=nT+∫u u1 dξ/√f(ξ),2n+1 /2 T≦t≦(n+1)T⇒t=2n+1 /2 T +∫u2 u dξ/√f(ξ),2n+1 /2 T≦t≦(n+1)T⇒t=2n+1 /2 T +∫u2 u dξ/√f(ξ),u,u2,-T/2,O,T/2,t,u1,φ=b-aλ3u / λ1(1-u2),Ψ=a- b-aλ3u / λ1(1-u2) u,φ,u1,O,u2,u,φ,u1,O,u2,u,φ,u1,O,u2,u(例1)(例2)(例3)単位球面とx'3軸の交点の軌跡