TEC-0-1-47
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TEC-0-1-47 初等力学正典

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[補足説明欄]

このページで、Mの固有値、Mの固有ベクトル、Mを対角化する行列を求める作業に取り掛かっています。
行列の対角化というこの作業は、数学内では特別に重要なわけではないと思いますが、具体的な問題への物理学理論の適用においては特別に重要です。
行列の対角化は、数学においても理論としては重要視されると思いますが、次数の大きい具体的な行列を対角化したいという欲求を数学は持たないのではないでしょうか。
この点、物理学では問題を解くにはどうしても次数の大きい具体的な行列を対角化する必要が有る、この問題が解けるか否かはこの行列を対角化できるか否かに掛かっている、という事態に直面する事が有ります。
そっち方面の研究に進む人にとっては、このページでの取り扱いはその入門編です。
当典内でも量子力学正典第3章§3-1で解くのは技術的には、固有値問題であり、これも(問題によっては抽象的な意味でのみ)行列の対角化です。2019.07.29;2019.08.04

1〜4行目の内容の根拠は、数学のおさらいに成りますが、以下です。
3行3列の単位行列を13と書き、3行1列のゼロ行列(列ベクトル)を03と書くなら、λがMの固有値であるとは、
Mξ = λξ つまり (M - λ13)ξ = 03
である様なゼロでない3行1列の行列(列ベクトル)ξが存在する事です。
その為には M - λ13 の行列式がゼロである事が必要十分です。
|M - λ13| = 0.
これは |λ13 - M| = 0 と同値です。2019.07.29

14〜16行目では、Mξ = 3ξ と書く代わりに (313 - M)ξ = 03 と書いています。2019.07.29

24〜26行目では、z = +1/√3 としても z = -1/√3 としても、どちらでも構いませんが、両者は線形従属なので、どちらか1方だけを答えとする必要が有ります。
Mの固有値3に属する固有空間の基底ベクトルを答えている、と考えて下さい。
規格化する事も必要では有りません。2019.07.29

28〜30行目では、Mξ = (3/2)ξ と書く代わりに [(3/2)13 - M]ξ = 03 と書いています。2019.07.29

次ページ以降に、このページの記事の続きが書かれています。2019.07.30


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【SEOテキスト】04.1.27宇田雄一λがMの固有値ならば|λ-2 1/2 1/2,1/2 λ-2 -1/2,1/2 -1/2 λ-2|=0∴(λ-2)3-1/8-1/8-(λ-2)/4-(λ-2)/4-(λ-2)/4=0,(λ-2)3-1/4-3(λ-2)/4=0,4(λ3-6λ2+12λ-8)-1-3(λ-2)=0,4λ3-24λ2+45λ-27=0,(λ-3)(4λ2-12λ+9)=0,(λ-3)(2λ-3)2=0,λ=3,3/2,Mの固有値3に属する固有ベクトルは、(3-2 1/2 1/2,1/2 3-2 -1/2,1/2 -1/2 3-2)(x y z)=(0 0 0){x+y/2+z/2=0,x/2+y-z/2=0,3x/2+3z/2=0∴x=-z,y=z/2-x/2=z/2+z/2=z規格化すると、1=x2+y2+z2=3z2∴|z|=1/√3,(x y z)=(-1/√3 1/√3 1/√3),Mの固有値3/2に属する固有ベクトルは、(3/2-2 1/2 1/2,1/2 3/2-2 -1/2,1/2 -1/2 3/2-2)(x y z)